Equações Paramétricas — Como Fazer o Gráfico e Converter

Equações paramétricas descrevem uma curva dando as duas coordenadas em função do mesmo parâmetro, geralmente $t$. Para fazer o gráfico, substitua valores de $t$ em ordem. Para converter, elimine $t$ se possível e depois verifique quais informações a conversão esconde.

A forma básica é

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

Cada valor de $t$ fornece um ponto $(x,y)$. O parâmetro faz duas coisas ao mesmo tempo: gera os pontos e indica o sentido em que a curva é percorrida.

O que significam as equações paramétricas

Em uma equação cartesiana, $x$ e $y$ se relacionam diretamente. Em uma equação paramétrica, eles ficam ligados pela mesma variável que está mudando.

Essa diferença importa quando uma curva tem movimento natural, direção ou um intervalo restrito. Mesmo que a forma cartesiana mostre o mesmo formato, ela pode não mostrar o mesmo ponto inicial, ponto final ou a ordem em que a curva é traçada.

Como fazer o gráfico de equações paramétricas

O método mais rápido e confiável é uma pequena tabela de valores.

1. Encontre o intervalo permitido de $t$.
2. Escolha alguns valores convenientes de $t$.
3. Calcule os pontos correspondentes $(x,y)$.
4. Marque os pontos na ordem correta.
5. Indique o sentido à medida que $t$ aumenta.

Essa atenção extra à ordem é a principal diferença em relação ao gráfico comum. Um formato correto com o sentido errado ainda está incompleto.

Como converter equações paramétricas para a forma cartesiana

Converter para a forma cartesiana significa remover $t$ para que a relação seja escrita diretamente em $x$ e $y$.

Se uma das equações for fácil de resolver para $t$, substitua essa expressão na outra equação. Se funções trigonométricas aparecerem juntas, uma identidade pode ser o caminho mais simples. Um exemplo comum é

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Depois da conversão, verifique se a nova equação descreve mais do que a curva paramétrica original. Isso pode acontecer quando o intervalo do parâmetro percorre apenas parte de uma curva.

Exemplo resolvido: fazendo o gráfico e convertendo uma circunferência paramétrica

Considere

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Comece com alguns valores de $t$:

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

Esses pontos estão sobre a circunferência unitária. Como $t$ vai de $0$ a $\pi$, o gráfico começa em $(1,0)$, move-se no sentido anti-horário passando por $(0,1)$ e termina em $(-1,0)$. Portanto, a curva paramétrica é a metade superior da circunferência unitária, e não a circunferência completa.

Agora converta para a forma cartesiana. Eleve as duas equações ao quadrado e some:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

Usando $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, obtemos

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Essa equação representa a circunferência unitária completa. Para corresponder à curva paramétrica original, ainda é preciso a condição $y \ge 0$, e a equação cartesiana ainda não mostra o sentido do movimento.

Essa é a ideia principal: eliminar o parâmetro pode preservar o formato, mas perder informações sobre qual parte da curva aparece e como ela é percorrida.

Erros comuns ao fazer o gráfico ou converter

Ignorar o intervalo do parâmetro

O intervalo de $t$ pode transformar uma curva completa em um segmento ou arco. No exemplo acima, $0 \le t \le \pi$ fornece apenas o semicírculo superior.

Esquecer o sentido

Dois sistemas paramétricos podem produzir o mesmo conjunto de pontos, mas percorrê-los em sentidos diferentes. Se o problema pede o gráfico da curva paramétrica, o sentido importa.

Tratar a forma cartesiana como resposta completa

A equação convertida pode mostrar o formato correto, mas deixar de fora restrições do intervalo original do parâmetro. Sempre compare o resultado convertido com o intervalo original de $t$.

Supor que a eliminação é sempre simples

Às vezes é possível resolver diretamente para $t$. Às vezes é preciso usar uma identidade. Às vezes o resultado final mais claro é uma relação entre $x$ e $y$ junto com uma restrição.

Quando as equações paramétricas são úteis

Equações paramétricas são úteis quando a posição depende naturalmente do tempo, do ângulo ou de outra grandeza variável. Exemplos comuns incluem movimento circular, movimento de projéteis e curvas que são difíceis de descrever com uma única equação da forma $y = f(x)$.

Elas também são comuns no cálculo porque velocidade e direção podem ser incorporadas à descrição da curva desde o início.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Primeiro identifique o formato. Depois decida qual parte desse formato é percorrida e como o ponto se move à medida que $t$ aumenta.