Równania parametryczne — wykresy i zamiana na postać kartezjańską

Równania parametryczne opisują krzywą, podając obie współrzędne za pomocą tego samego parametru, zwykle $t$. Aby narysować ich wykres, podstawiaj kolejne wartości $t$. Aby zamienić je na inną postać, wyeliminuj $t$, jeśli to możliwe, a potem sprawdź, jakie informacje znikają po tej zamianie.

Podstawowa postać to

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

Każda wartość $t$ wyznacza jeden punkt $(x,y)$. Parametr pełni jednocześnie dwie funkcje: generuje punkty i wskazuje kierunek, w jakim krzywa jest kreślona.

Co oznaczają równania parametryczne

W równaniu kartezjańskim zmienne $x$ i $y$ są powiązane bezpośrednio. W równaniu parametrycznym łączy je ta sama zmieniająca się zmienna.

Ta różnica ma znaczenie, gdy krzywa ma naturalny ruch, kierunek albo ograniczony przedział. Nawet jeśli postać kartezjańska pokazuje ten sam kształt, może nie pokazywać tego samego punktu początkowego, końcowego ani kolejności kreślenia.

Jak rysować wykresy równań parametrycznych

Najszybszą i pewną metodą jest krótka tabela wartości.

1. Wyznacz dopuszczalny zakres $t$.
2. Wybierz kilka wygodnych wartości $t$.
3. Oblicz odpowiadające im punkty $(x,y)$.
4. Zaznacz punkty po kolei na wykresie.
5. Oznacz kierunek wraz ze wzrostem $t$.

To zwracanie uwagi na kolejność jest główną różnicą w porównaniu ze zwykłym rysowaniem wykresów. Poprawny kształt, ale z błędnym kierunkiem, nadal jest niepełną odpowiedzią.

Jak zamienić równania parametryczne na postać kartezjańską

Zamiana na postać kartezjańską polega na usunięciu $t$, tak aby zależność była zapisana bezpośrednio między $x$ i $y$.

Jeśli z jednego równania łatwo wyznaczyć $t$, podstaw to wyrażenie do drugiego równania. Jeśli razem występują funkcje trygonometryczne, czystszą metodą może być użycie tożsamości. Częstym przykładem jest

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Po przekształceniu sprawdź, czy nowe równanie nie opisuje więcej niż pierwotna krzywa parametryczna. Może się tak zdarzyć, gdy zakres parametru obejmuje tylko część krzywej.

Przykład: rysowanie i zamiana równania parametrycznego okręgu

Rozważmy

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Zacznij od kilku wartości $t$:

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

Te punkty leżą na okręgu jednostkowym. Ponieważ $t$ zmienia się od $0$ do $\pi$, wykres zaczyna się w punkcie $(1,0)$, porusza się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przez $(0,1)$ i kończy się w $(-1,0)$. Zatem krzywa parametryczna jest górną połową okręgu jednostkowego, a nie całym okręgiem.

Teraz zamieńmy ją na postać kartezjańską. Podnieś oba równania do kwadratu i dodaj:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

Korzystając z $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, otrzymujesz

$$x^2 + y^2 = 1.$$

To równanie opisuje cały okrąg jednostkowy. Aby zgadzało się z pierwotną krzywą parametryczną, nadal potrzebujesz warunku $y \ge 0$, a równanie kartezjańskie wciąż nie pokazuje kierunku ruchu.

To jest kluczowa idea: wyeliminowanie parametru może zachować kształt, ale jednocześnie utracić informację o tym, która część krzywej występuje i jak jest kreślona.

Typowe błędy przy rysowaniu i przekształcaniu

Pomijanie przedziału parametru

Przedział dla $t$ może zamienić całą krzywą w odcinek albo łuk. W powyższym przykładzie $0 \le t \le \pi$ daje tylko górny półokrąg.

Zapominanie o kierunku

Dwa układy parametryczne mogą dawać ten sam zbiór punktów, ale kreślić je w różnych kierunkach. Jeśli zadanie prosi o narysowanie krzywej parametrycznej, kierunek ma znaczenie.

Traktowanie postaci kartezjańskiej jako pełnej odpowiedzi

Przekształcone równanie może pokazywać poprawny kształt, ale pomijać ograniczenia wynikające z pierwotnego zakresu parametru. Zawsze porównuj wynik po przekształceniu z pierwotnym przedziałem dla $t$.

Zakładanie, że eliminacja zawsze jest prosta

Czasem można bezpośrednio wyznaczyć $t$. Czasem trzeba użyć tożsamości. Czasem najczytelniejszy wynik końcowy to zależność między $x$ i $y$ wraz z dodatkowym ograniczeniem.

Kiedy równania parametryczne są przydatne

Równania parametryczne są przydatne wtedy, gdy położenie naturalnie zależy od czasu, kąta albo innej zmieniającej się wielkości. Typowe przykłady to ruch po okręgu, ruch pocisku i krzywe, które trudno opisać jednym równaniem postaci $y = f(x)$.

Są też często używane w analizie matematycznej, ponieważ prędkość i kierunek można uwzględnić w opisie krzywej już od samego początku.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie przeanalizować przykład

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Najpierw określ kształt. Następnie zdecyduj, która część tej figury jest kreślona i jak porusza się punkt wraz ze wzrostem $t$.