Persamaan Parametrik — Menggambar Grafik & Mengubah Bentuk

Persamaan parametrik mendeskripsikan suatu kurva dengan memberikan kedua koordinat dalam parameter yang sama, biasanya $t$. Untuk menggambar grafiknya, masukkan nilai-nilai $t$ secara berurutan. Untuk mengubah bentuknya, hilangkan $t$ jika memungkinkan, lalu periksa informasi apa yang hilang akibat konversi itu.

Bentuk dasarnya adalah

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

Setiap nilai $t$ menghasilkan satu titik $(x,y)$. Parameter memiliki dua fungsi sekaligus: menghasilkan titik-titik dan menunjukkan arah penelusuran kurva.

Apa arti persamaan parametrik

Dalam persamaan Kartesius, $x$ dan $y$ berhubungan secara langsung. Dalam persamaan parametrik, keduanya terhubung melalui variabel yang sama-sama berubah.

Perbedaan ini penting ketika suatu kurva memiliki gerak alami, arah, atau interval yang dibatasi. Walaupun bentuk Kartesius menunjukkan bentuk yang sama, bentuk itu mungkin tidak menunjukkan titik awal, titik akhir, atau urutan penelusuran yang sama.

Cara menggambar grafik persamaan parametrik

Metode paling cepat dan andal adalah membuat tabel nilai singkat.

1. Tentukan rentang $t$ yang diperbolehkan.
2. Pilih beberapa nilai $t$ yang mudah.
3. Hitung titik-titik $(x,y)$ yang sesuai.
4. Plot titik-titik itu secara berurutan.
5. Tandai arah saat $t$ bertambah.

Perhatian tambahan pada urutan inilah perbedaan utama dibanding menggambar grafik biasa. Bentuk yang benar tetapi arahnya salah tetap belum lengkap.

Cara mengubah persamaan parametrik ke bentuk Kartesius

Mengubah ke bentuk Kartesius berarti menghilangkan $t$ sehingga hubungan ditulis langsung dalam $x$ dan $y$.

Jika salah satu persamaan mudah diselesaikan untuk $t$, substitusikan bentuk itu ke persamaan lainnya. Jika fungsi trigonometri muncul bersama, menggunakan identitas bisa menjadi cara yang lebih rapi. Contoh yang umum adalah

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Setelah konversi, periksa apakah persamaan baru mendeskripsikan lebih dari kurva parametrik asal. Hal ini bisa terjadi ketika rentang parameter hanya menelusuri sebagian dari suatu kurva.

Contoh: menggambar grafik dan mengubah bentuk lingkaran parametrik

Perhatikan

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Mulailah dengan beberapa nilai $t$:

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

Titik-titik itu terletak pada lingkaran satuan. Karena $t$ bergerak dari $0$ ke $\pi$, grafik dimulai di $(1,0)$, bergerak berlawanan arah jarum jam melalui $(0,1)$, dan berakhir di $(-1,0)$. Jadi kurva parametriknya adalah setengah atas lingkaran satuan, bukan seluruh lingkaran.

Sekarang ubah ke bentuk Kartesius. Kuadratkan kedua persamaan lalu jumlahkan:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

Dengan menggunakan $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, diperoleh

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Persamaan itu adalah lingkaran satuan penuh. Agar sesuai dengan kurva parametrik asal, Anda masih memerlukan syarat $y \ge 0$, dan persamaan Kartesius itu juga tetap tidak menunjukkan arah geraknya.

Inilah gagasan utamanya: menghilangkan parameter dapat mempertahankan bentuk, tetapi kehilangan informasi tentang bagian kurva mana yang muncul dan bagaimana kurva itu ditelusuri.

Kesalahan umum saat menggambar grafik atau mengubah bentuk

Mengabaikan interval parameter

Interval untuk $t$ dapat mengubah kurva penuh menjadi ruas atau busur. Pada contoh di atas, $0 \le t \le \pi$ hanya menghasilkan setengah lingkaran atas.

Lupa arah

Dua sistem parametrik dapat menghasilkan himpunan titik yang sama tetapi menelusurinya dengan arah yang berbeda. Jika soal meminta Anda menggambar kurva parametrik, arah itu penting.

Menganggap bentuk Kartesius sebagai jawaban lengkap

Persamaan hasil konversi mungkin menunjukkan bentuk yang benar tetapi melewatkan batasan dari rentang parameter asal. Selalu bandingkan hasil konversi dengan interval $t$ semula.

Menganggap eliminasi selalu sederhana

Kadang Anda bisa langsung menyelesaikan untuk $t$. Kadang Anda perlu menggunakan identitas. Kadang hasil akhir yang paling rapi adalah hubungan dalam $x$ dan $y$ ditambah suatu batasan.

Kapan persamaan parametrik berguna

Persamaan parametrik berguna ketika posisi secara alami bergantung pada waktu, sudut, atau besaran lain yang berubah. Contoh umum meliputi gerak melingkar, gerak proyektil, dan kurva yang sulit dideskripsikan dengan satu persamaan berbentuk $y = f(x)$.

Persamaan ini juga umum dalam kalkulus karena kecepatan dan arah dapat dimasukkan ke dalam deskripsi kurva sejak awal.

Coba soal serupa

Coba versi Anda sendiri dengan

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Pertama, tentukan bentuknya. Lalu putuskan bagian mana dari bentuk itu yang ditelusuri dan bagaimana titik bergerak saat $t$ bertambah.