Équations paramétriques — tracer et convertir

Les équations paramétriques décrivent une courbe en donnant les deux coordonnées en fonction du même paramètre, généralement $t$. Pour les tracer, on remplace $t$ par des valeurs prises dans l’ordre. Pour les convertir, on élimine $t$ si possible, puis on vérifie quelles informations la conversion peut masquer.

La forme de base est

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

Chaque valeur de $t$ donne un point $(x,y)$. Le paramètre joue deux rôles à la fois : il génère les points et indique le sens dans lequel la courbe est parcourue.

Ce que signifient les équations paramétriques

Dans une équation cartésienne, $x$ et $y$ sont liés directement. Dans une équation paramétrique, ils sont reliés par la même variable qui change.

Cette différence est importante lorsqu’une courbe a un mouvement naturel, un sens de parcours ou un intervalle restreint. Même si la forme cartésienne montre la même figure, elle peut ne pas indiquer le même point de départ, le même point d’arrivée ni le même ordre de parcours.

Comment tracer des équations paramétriques

La méthode la plus rapide et la plus fiable consiste à faire un petit tableau de valeurs.

1. Déterminez l’intervalle autorisé de $t$.
2. Choisissez quelques valeurs pratiques de $t$.
3. Calculez les points correspondants $(x,y)$.
4. Placez les points dans l’ordre.
5. Indiquez le sens lorsque $t$ augmente.

Cette attention supplémentaire à l’ordre est la principale différence avec un tracé ordinaire. Une forme correcte avec un sens erroné reste incomplète.

Comment convertir des équations paramétriques en forme cartésienne

Convertir en forme cartésienne signifie supprimer $t$ pour écrire la relation directement entre $x$ et $y$.

Si l’une des équations se résout facilement en $t$, remplacez cette expression dans l’autre équation. Si des fonctions trigonométriques apparaissent ensemble, une identité peut être la méthode la plus simple. Un exemple classique est

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Après la conversion, vérifiez si la nouvelle équation décrit plus que la courbe paramétrique d’origine. Cela peut arriver lorsque l’intervalle du paramètre ne parcourt qu’une partie de la courbe.

Exemple détaillé : tracer et convertir un cercle paramétrique

Considérons

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Commençons par quelques valeurs de $t$ :

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

Ces points appartiennent au cercle unité. Comme $t$ varie de $0$ à $\pi$, le tracé commence en $(1,0)$, se déplace dans le sens inverse des aiguilles d’une montre en passant par $(0,1)$, et se termine en $(-1,0)$. La courbe paramétrique est donc la moitié supérieure du cercle unité, et non le cercle complet.

Convertissons maintenant en forme cartésienne. Élevons les deux équations au carré puis additionnons :

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

En utilisant $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, on obtient

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Cette équation est celle du cercle unité complet. Pour qu’elle corresponde à la courbe paramétrique d’origine, il faut encore ajouter la condition $y \ge 0$, et l’équation cartésienne ne montre toujours pas le sens de parcours.

C’est l’idée essentielle : éliminer le paramètre peut conserver la forme, mais faire perdre des informations sur la partie de la courbe représentée et sur la manière dont elle est parcourue.

Erreurs fréquentes lors du tracé ou de la conversion

Ignorer l’intervalle du paramètre

L’intervalle de $t$ peut transformer une courbe complète en segment ou en arc. Dans l’exemple ci-dessus, $0 \le t \le \pi$ ne donne que le demi-cercle supérieur.

Oublier le sens de parcours

Deux systèmes paramétriques peuvent produire le même ensemble de points tout en les parcourant dans des sens différents. Si l’exercice demande de tracer la courbe paramétrique, le sens compte.

Considérer la forme cartésienne comme la réponse complète

L’équation convertie peut montrer la bonne forme, mais oublier des restrictions liées à l’intervalle initial du paramètre. Comparez toujours le résultat converti avec l’intervalle initial de $t$.

Supposer que l’élimination est toujours simple

Parfois, on peut résoudre directement pour $t$. Parfois, il faut utiliser une identité. Parfois, le résultat final le plus clair est une relation entre $x$ et $y$ accompagnée d’une restriction.

Quand les équations paramétriques sont utiles

Les équations paramétriques sont utiles lorsque la position dépend naturellement du temps, d’un angle ou d’une autre grandeur variable. Parmi les exemples courants, on trouve le mouvement circulaire, le mouvement d’un projectile et les courbes difficiles à décrire par une seule équation de la forme $y = f(x)$.

Elles sont aussi fréquentes en calcul différentiel et intégral, car la vitesse et la direction peuvent être intégrées à la description de la courbe dès le départ.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Identifiez d’abord la forme. Déterminez ensuite quelle partie de cette forme est parcourue et comment le point se déplace lorsque $t$ augmente.