圆的方程

圆的方程告诉你：哪些点到某一个固定圆心的距离相同。若一个圆的圆心是 $(h, k)$，半径是 $r$，它的标准方程为

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

之所以成立，是因为圆上的每一个点 $(x, y)$ 到圆心的距离都恰好是 $r$。如果圆心在原点，方程就变成

$$x^2 + y^2 = r^2$$

这是在解析几何中识别圆最快的方法。

圆的方程表示什么

式子中的 $x - h$ 表示点到圆心的水平距离，$y - k$ 表示点到圆心的竖直距离。把这两个距离平方后相加，就对应距离公式：

$$\text{distance}^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2$$

对于圆上的点，这个距离的平方必须等于 $r^2$。所以，这个方程其实是在简洁地表达：“这里的每一个点到圆心的距离都相同。”

直观理解

可以把圆心看成一个固定点。圆就是所有与这个固定点保持同样半径距离的点的集合。这个方程描述的不是某一个点，而是由所有这些点组成的整条边界。

这也解释了为什么半径如此重要。若你改变 $r$，圆心不变，但圆会变大或变小。

一个例题

写出圆心为 $(3, -2)$、半径为 $5$ 的圆的方程。

先写出标准形式：

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

代入 $h = 3$、$k = -2$ 和 $r = 5$：

$$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$$

化简：

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

这就是该圆的方程。

你还可以用一个应当在圆上的点来做快速检验。点 $(8, -2)$ 在圆心右侧 $5$ 个单位，因此它应该满足方程：

$$(8 - 3)^2 + (-2 + 2)^2 = 5^2 + 0 = 25$$

结果确实成立，所以这个方程与圆心和半径是一致的。

常见错误

1. 直接根据符号读出圆心。在 $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ 中，圆心是 $(3, -2)$，不是 $(3, 2)$。
2. 忘记把半径平方。如果半径是 $5$，右边应是 $25$，不是 $5$。
3. 把直径当成半径使用。如果给的是直径，要先除以 $2$。
4. 当 $r^2$ 为负时还以为有实数圆。像 $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = -9$ 这样的方程没有实数点。

需要注意的特殊情况

如果 $r > 0$，这个方程表示一个真正的圆。

如果 $r = 0$，这个方程只表示一个点，也就是圆心本身。

如果 $r^2 < 0$，就不存在实数圆，因为距离的平方不可能是负数。

这个概念用在哪里

圆的方程会出现在坐标几何、解析几何和预备微积分中。它可用于画圆、判断某个点是否在圆上、表示到固定位置的距离，以及把更复杂的方程改写成容易识别的圆的形式。

它也和距离公式、配方法有自然联系，因为把较长的方程化成圆的标准形式时，常常要用到配方法。

一个很好的快速检查方法

当你看到 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 时，快速问自己两个问题：

1. 这些符号对应的圆心是什么？
2. 右边真的是半径的平方吗？

这两个检查能发现大多数错误。

自己试一试

试着写出圆心为 $(-4, 1)$、半径为 $3$ 的圆的方程。然后检查点 $(-1, 1)$ 是否在这个圆上。如果你想再进一步，可以从一个更长的方程出发，把它改写成圆的标准形式。