สมการพาราเมตริก — การเขียนกราฟและการแปลงรูป

สมการพาราเมตริกใช้อธิบายเส้นโค้งโดยให้พิกัดทั้งสองอยู่ในรูปของพารามิเตอร์เดียวกัน ซึ่งมักใช้ $t$ ในการเขียนกราฟ ให้แทนค่า $t$ ตามลำดับ ส่วนในการแปลงรูป ให้กำจัด $t$ ถ้าทำได้ แล้วตรวจดูว่าการแปลงนั้นทำให้ข้อมูลใดหายไปบ้าง

รูปแบบพื้นฐานคือ

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

แต่ละค่าของ $t$ จะให้จุดหนึ่งจุด $(x,y)$ พารามิเตอร์มีหน้าที่สองอย่างพร้อมกัน คือสร้างจุดบนกราฟ และบอกทิศทางที่เส้นโค้งถูกลาก

สมการพาราเมตริกหมายถึงอะไร

ในสมการคาร์ทีเซียน $x$ และ $y$ มีความสัมพันธ์กันโดยตรง แต่ในสมการพาราเมตริก ทั้งสองตัวแปรเชื่อมกันผ่านตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงร่วมกันตัวเดียวกัน

ความต่างนี้สำคัญเมื่อเส้นโค้งมีการเคลื่อนที่ตามธรรมชาติ มีทิศทาง หรือมีช่วงจำกัด แม้ว่ารูปคาร์ทีเซียนจะแสดงรูปร่างเดียวกัน แต่ก็อาจไม่แสดงจุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด หรือลำดับการลากเส้นแบบเดียวกัน

วิธีเขียนกราฟสมการพาราเมตริก

วิธีที่เร็วและเชื่อถือได้ที่สุดคือทำตารางค่าสั้น ๆ

1. หาช่วงค่าที่เป็นไปได้ของ $t$
2. เลือกค่า $t$ ที่คำนวณได้สะดวกสักสองสามค่า
3. คำนวณจุด $(x,y)$ ที่สอดคล้องกัน
4. พล็อตจุดตามลำดับ
5. ระบุทิศทางเมื่อ $t$ เพิ่มขึ้น

การใส่ใจเรื่องลำดับนี้คือความต่างหลักจากการเขียนกราฟทั่วไป ถ้ารูปร่างถูกต้องแต่ทิศทางผิด ก็ยังถือว่าไม่สมบูรณ์

วิธีแปลงสมการพาราเมตริกเป็นรูปคาร์ทีเซียน

การแปลงเป็นรูปคาร์ทีเซียนหมายถึงการกำจัด $t$ ออกไป เพื่อให้ความสัมพันธ์ถูกเขียนโดยตรงในรูปของ $x$ และ $y$

ถ้าสมการใดสมการหนึ่งแก้หา $t$ ได้ง่าย ก็ให้นำค่านั้นไปแทนในอีกสมการหนึ่ง ถ้ามีฟังก์ชันตรีโกณมิติปรากฏร่วมกัน การใช้อัตลักษณ์อาจเป็นวิธีที่สะอาดกว่า ตัวอย่างที่พบบ่อยคือ

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

หลังจากแปลงรูปแล้ว ให้ตรวจว่าสมการใหม่อธิบายมากกว่าเส้นโค้งพาราเมตริกเดิมหรือไม่ เรื่องนี้เกิดขึ้นได้เมื่อช่วงของพารามิเตอร์ลากได้เพียงบางส่วนของเส้นโค้ง

ตัวอย่างทำโจทย์: การเขียนกราฟและแปลงรูปวงกลมแบบพาราเมตริก

พิจารณา

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

เริ่มจากเลือกค่า $t$ บางค่า:

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

จุดเหล่านี้อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย เนื่องจาก $t$ วิ่งจาก $0$ ถึง $\pi$ กราฟจึงเริ่มที่ $(1,0)$ เคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาผ่าน $(0,1)$ และสิ้นสุดที่ $(-1,0)$ ดังนั้นเส้นโค้งพาราเมตริกนี้คือครึ่งบนของวงกลมหนึ่งหน่วย ไม่ใช่วงกลมเต็ม

ต่อไปแปลงเป็นรูปคาร์ทีเซียน ยกกำลังสองทั้งสองสมการแล้วบวกกัน:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

เมื่อใช้ $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ จะได้

$$x^2 + y^2 = 1.$$

สมการนี้คือวงกลมหนึ่งหน่วยทั้งวง แต่ถ้าต้องการให้ตรงกับเส้นโค้งพาราเมตริกเดิม ยังต้องมีเงื่อนไข $y \ge 0$ และสมการคาร์ทีเซียนก็ยังไม่แสดงทิศทางการเคลื่อนที่

นี่คือแนวคิดสำคัญ: การกำจัดพารามิเตอร์อาจคงรูปร่างไว้ได้ แต่ทำให้ข้อมูลหายไปว่าเส้นโค้งปรากฏเพียงส่วนใด และถูกลากอย่างไร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อเขียนกราฟหรือแปลงรูป

มองข้ามช่วงของพารามิเตอร์

ช่วงของ $t$ อาจทำให้เส้นโค้งเต็มกลายเป็นเพียงส่วนของเส้นตรงหรือส่วนโค้งได้ ในตัวอย่างข้างบน $0 \le t \le \pi$ ให้เพียงครึ่งวงกลมด้านบนเท่านั้น

ลืมทิศทาง

ระบบพาราเมตริกสองระบบอาจให้ชุดจุดเดียวกัน แต่ลากจุดเหล่านั้นคนละทิศทาง ถ้าโจทย์ให้เขียนกราฟเส้นโค้งพาราเมตริก ทิศทางถือว่าสำคัญ

คิดว่ารูปคาร์ทีเซียนคือคำตอบทั้งหมด

สมการที่แปลงแล้วอาจแสดงรูปร่างถูกต้อง แต่ไม่รวมเงื่อนไขจำกัดจากช่วงของพารามิเตอร์เดิม ควรเปรียบเทียบผลที่แปลงได้กับช่วงของ $t$ เดิมเสมอ

คิดว่าการกำจัดพารามิเตอร์ต้องง่ายเสมอ

บางครั้งคุณแก้หา $t$ ได้โดยตรง บางครั้งต้องใช้อัตลักษณ์ และบางครั้งผลลัพธ์ที่ชัดเจนที่สุดคือความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ และ $y$ พร้อมเงื่อนไขจำกัดเพิ่มเติม

สมการพาราเมตริกมีประโยชน์เมื่อใด

สมการพาราเมตริกมีประโยชน์เมื่อการระบุตำแหน่งขึ้นอยู่กับเวลา มุม หรือปริมาณที่เปลี่ยนแปลงอื่น ๆ ตามธรรมชาติ ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ การเคลื่อนที่เป็นวงกลม การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ และเส้นโค้งที่อธิบายได้ยากด้วยสมการเดี่ยวในรูป $y = f(x)$

สมการชนิดนี้ยังพบได้บ่อยในแคลคูลัส เพราะสามารถใส่ทั้งความเร็วและทิศทางไว้ในคำอธิบายของเส้นโค้งได้ตั้งแต่ต้น

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองจาก

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

เริ่มจากระบุรูปร่างของกราฟ จากนั้นตัดสินใจว่ามีการลากเพียงส่วนใดของรูปร่างนั้น และจุดเคลื่อนที่อย่างไรเมื่อ $t$ เพิ่มขึ้น