Equazioni parametriche — grafico e conversione

Le equazioni parametriche descrivono una curva assegnando entrambe le coordinate in funzione dello stesso parametro, di solito $t$. Per rappresentarle, si sostituiscono in ordine vari valori di $t$. Per convertirle, si elimina $t$ se possibile, poi si controlla quali informazioni la conversione può nascondere.

La forma di base è

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

Ogni valore di $t$ determina un punto $(x,y)$. Il parametro svolge due ruoli allo stesso tempo: genera i punti e indica la direzione con cui la curva viene percorsa.

Cosa significano le equazioni parametriche

In un’equazione cartesiana, $x$ e $y$ sono collegate direttamente. In un’equazione parametrica, invece, sono collegate attraverso la stessa variabile che cambia.

Questa differenza è importante quando una curva ha un moto naturale, una direzione o un intervallo limitato. Anche se la forma cartesiana mostra la stessa figura, potrebbe non mostrare lo stesso punto iniziale, il punto finale o l’ordine con cui la curva viene percorsa.

Come rappresentare graficamente le equazioni parametriche

Il metodo più rapido e affidabile è una breve tabella di valori.

1. Trova l’intervallo ammesso di $t$.
2. Scegli alcuni valori comodi di $t$.
3. Calcola i punti corrispondenti $(x,y)$.
4. Riporta i punti sul piano nell’ordine corretto.
5. Indica il verso al crescere di $t$.

Questa attenzione all’ordine è la differenza principale rispetto alla rappresentazione grafica ordinaria. Una forma corretta ma con verso sbagliato è comunque incompleta.

Come convertire le equazioni parametriche in forma cartesiana

Convertire in forma cartesiana significa eliminare $t$ in modo che la relazione sia scritta direttamente tra $x$ e $y$.

Se una delle due equazioni si può risolvere facilmente rispetto a $t$, sostituisci quell’espressione nell’altra equazione. Se compaiono insieme funzioni trigonometriche, un’identità può essere la strada più pulita. Un esempio comune è

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Dopo la conversione, controlla se la nuova equazione descrive più della curva parametrica originale. Questo può succedere quando l’intervallo del parametro traccia solo una parte della curva.

Esempio svolto: rappresentare e convertire un cerchio parametrico

Considera

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Inizia con alcuni valori di $t$:

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

Questi punti si trovano sulla circonferenza unitaria. Poiché $t$ varia da $0$ a $\pi$, il grafico parte da $(1,0)$, si muove in senso antiorario passando per $(0,1)$ e termina in $(-1,0)$. Quindi la curva parametrica è il semicerchio superiore della circonferenza unitaria, non la circonferenza completa.

Ora convertiamola in forma cartesiana. Eleva al quadrato entrambe le equazioni e somma:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

Usando $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, ottieni

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Questa equazione rappresenta l’intera circonferenza unitaria. Per farla coincidere con la curva parametrica originale, serve ancora la condizione $y \ge 0$, e l’equazione cartesiana continua a non mostrare il verso di percorrenza.

Questa è l’idea chiave: eliminare il parametro può conservare la forma, ma far perdere informazioni su quale parte della curva compare e su come viene percorsa.

Errori comuni nella rappresentazione o nella conversione

Ignorare l’intervallo del parametro

L’intervallo di $t$ può trasformare una curva completa in un segmento o in un arco. Nell’esempio sopra, $0 \le t \le \pi$ fornisce solo il semicerchio superiore.

Dimenticare il verso

Due sistemi parametrici possono produrre lo stesso insieme di punti ma percorrerli in direzioni diverse. Se il problema chiede di rappresentare la curva parametrica, il verso conta.

Considerare la forma cartesiana come risposta completa

L’equazione convertita può mostrare la forma giusta ma perdere le restrizioni dovute all’intervallo originale del parametro. Confronta sempre il risultato convertito con l’intervallo iniziale di $t$.

Supporre che l’eliminazione sia sempre semplice

A volte puoi ricavare direttamente $t$. A volte serve un’identità. A volte il risultato finale più chiaro è una relazione tra $x$ e $y$ accompagnata da una restrizione.

Quando le equazioni parametriche sono utili

Le equazioni parametriche sono utili quando la posizione dipende in modo naturale dal tempo, dall’angolo o da un’altra grandezza variabile. Esempi comuni sono il moto circolare, il moto dei proiettili e le curve difficili da descrivere con una sola equazione della forma $y = f(x)$.

Sono anche molto usate in analisi matematica, perché velocità e direzione possono essere incorporate nella descrizione della curva fin dall’inizio.

Prova un esercizio simile

Prova una tua versione con

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Per prima cosa individua la forma. Poi stabilisci quale parte di quella forma viene tracciata e come si muove il punto al crescere di $t$.