Phương trình tham số — Cách vẽ đồ thị và chuyển sang dạng Descartes

Phương trình tham số mô tả một đường cong bằng cách cho cả hai tọa độ theo cùng một tham số, thường là $t$. Để vẽ đồ thị, bạn thay các giá trị của $t$ theo đúng thứ tự. Để chuyển đổi, hãy khử $t$ nếu có thể, rồi kiểm tra xem việc chuyển đổi đã làm ẩn đi thông tin nào.

Dạng cơ bản là

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

Mỗi giá trị của $t$ cho ra một điểm $(x,y)$. Tham số thực hiện đồng thời hai vai trò: tạo ra các điểm và cho biết chiều mà đường cong được vạch ra.

Ý nghĩa của phương trình tham số

Trong phương trình Descartes, $x$ và $y$ liên hệ trực tiếp với nhau. Trong phương trình tham số, chúng được liên kết thông qua cùng một biến thay đổi.

Sự khác biệt này quan trọng khi đường cong có chuyển động tự nhiên, có hướng hoặc bị giới hạn trên một khoảng nào đó. Ngay cả khi dạng Descartes cho cùng một hình dạng, nó vẫn có thể không cho thấy cùng điểm bắt đầu, điểm kết thúc hoặc thứ tự vạch đường.

Cách vẽ đồ thị phương trình tham số

Cách nhanh và đáng tin cậy nhất là lập một bảng giá trị ngắn.

1. Xác định khoảng giá trị của $t$ được phép.
2. Chọn một vài giá trị thuận tiện của $t$.
3. Tính các điểm $(x,y)$ tương ứng.
4. Chấm các điểm theo đúng thứ tự.
5. Đánh dấu chiều khi $t$ tăng.

Việc chú ý thêm đến thứ tự này là khác biệt chính so với cách vẽ đồ thị thông thường. Hình dạng đúng nhưng chiều sai thì vẫn chưa đầy đủ.

Cách chuyển phương trình tham số sang dạng Descartes

Chuyển sang dạng Descartes nghĩa là loại bỏ $t$ để mối quan hệ được viết trực tiếp theo $x$ và $y$.

Nếu một phương trình dễ giải theo $t$, hãy thế biểu thức đó vào phương trình còn lại. Nếu các hàm lượng giác xuất hiện cùng nhau, dùng một hằng đẳng thức có thể là cách gọn hơn. Một ví dụ quen thuộc là

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Sau khi chuyển đổi, hãy kiểm tra xem phương trình mới có mô tả nhiều hơn đường cong tham số ban đầu hay không. Điều này có thể xảy ra khi khoảng giá trị của tham số chỉ vạch ra một phần của đường cong.

Ví dụ có lời giải: vẽ đồ thị và chuyển đổi một đường tròn tham số

Xét

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Bắt đầu với một vài giá trị của $t$:

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

Các điểm đó nằm trên đường tròn đơn vị. Vì $t$ chạy từ $0$ đến $\pi$, đồ thị bắt đầu tại $(1,0)$, đi ngược chiều kim đồng hồ qua $(0,1)$ và kết thúc tại $(-1,0)$. Vậy đường cong tham số là nửa trên của đường tròn đơn vị, không phải toàn bộ đường tròn.

Bây giờ chuyển sang dạng Descartes. Bình phương cả hai phương trình rồi cộng lại:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

Dùng $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, ta được

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Phương trình đó là toàn bộ đường tròn đơn vị. Để khớp với đường cong tham số ban đầu, bạn vẫn cần điều kiện $y \ge 0$, và phương trình Descartes vẫn không cho biết chiều chuyển động.

Đây là ý chính: khử tham số có thể giữ lại hình dạng nhưng làm mất thông tin về phần nào của đường cong xuất hiện và đường cong được vạch theo cách nào.

Những lỗi thường gặp khi vẽ hoặc chuyển đổi

Bỏ qua khoảng giá trị của tham số

Khoảng giá trị của $t$ có thể biến cả một đường cong thành một đoạn hoặc một cung. Trong ví dụ trên, $0 \le t \le \pi$ chỉ cho nửa đường tròn phía trên.

Quên chiều chuyển động

Hai hệ phương trình tham số có thể tạo ra cùng một tập điểm nhưng vạch chúng theo các chiều khác nhau. Nếu bài toán yêu cầu vẽ đường cong tham số, thì chiều là điều quan trọng.

Coi dạng Descartes là câu trả lời đầy đủ

Phương trình sau khi chuyển đổi có thể cho đúng hình dạng nhưng lại bỏ sót các điều kiện từ khoảng giá trị tham số ban đầu. Luôn so sánh kết quả đã chuyển với khoảng $t$ ban đầu.

Cho rằng việc khử luôn đơn giản

Đôi khi bạn có thể giải trực tiếp theo $t$. Đôi khi bạn cần dùng một hằng đẳng thức. Cũng có lúc kết quả gọn nhất là một quan hệ giữa $x$ và $y$ kèm theo một điều kiện ràng buộc.

Khi nào phương trình tham số hữu ích

Phương trình tham số hữu ích khi vị trí phụ thuộc tự nhiên vào thời gian, góc hoặc một đại lượng đang thay đổi khác. Những ví dụ phổ biến gồm chuyển động tròn, chuyển động ném xiên và các đường cong khó mô tả bằng một phương trình duy nhất dạng $y = f(x)$.

Chúng cũng rất phổ biến trong giải tích vì vận tốc và hướng có thể được đưa ngay vào mô tả của đường cong từ đầu.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy thử phiên bản của riêng bạn với

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Trước hết hãy xác định hình dạng. Sau đó quyết định phần nào của hình đó được vạch ra và điểm chuyển động như thế nào khi $t$ tăng.