数列求和公式

数列求和公式最常用的只有两类：等差数列前 $n$ 项和，和等比数列前 $n$ 项和。做题时先别急着代公式，先判断数列规律。如果相邻两项的差固定，用等差求和；如果相邻两项的比固定，用等比求和。

数列求和公式先看这两个

等差数列前 $n$ 项和是：

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

如果已知公差 $d$ ，也可以写成：

S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]

等比数列前 $n$ 项和在 $q \ne 1$ 时为：

S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}

这里 $a_1$ 是首项， $a_n$ 是第 $n$ 项， $q$ 是公比。等比公式也常写成

S_n = a_1 \frac{q^n-1}{q-1}

这两种写法等价，只是把分子分母同时换号。

看到一串数，先看相邻两项之间的关系。比如 $3, 7, 11, 15$ 每次都加 $4$ ，所以是等差数列。再比如 $2, 6, 18, 54$ 每次都乘 $3$ ，所以是等比数列。

这一步比背公式更重要。数列类型一旦判断错，后面的求和通常会整题跑偏。

等差数列好用，是因为首尾配对后，每一对的和都相同。设一列数从前往后看是

a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots,\ a_n

倒过来是

a_n,\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \dots,\ a_1

对应位置相加后，每一对都是 $a_1 + a_n$ 。因此两倍的和是

2S_n = n(a_1 + a_n)

所以

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

这也是等差求和公式最直观的来历。

求等差数列 $5, 8, 11, \dots, 32$ 的和。

先判断类型。相邻两项都增加 $3$ ，所以这是等差数列。

已知量是：

这里最容易漏掉的是：题目给了末项 $32$ ，但没有直接给项数 $n$ 。所以要先用通项公式求 $n$ ：

a_n = a_1 + (n-1)d

代入后得到

32 = 5 + (n-1)\cdot 3

27 = 3(n-1)

n-1 = 9

n = 10

现在再代入求和公式：

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

S_{10} = \frac{10(5+32)}{2}

S_{10} = 5 \cdot 37 = 185

所以这组数的和是 $185$ 。

这个例题最关键的不是代公式，而是先看出 $n$ 还没给，需要自己先求出来。

如果每一项都是前一项乘同一个数，就考虑等比数列。

例如数列

2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32

它的首项是 $2$ ，公比是 $2$ ，所以前 $5$ 项和为

S_5 = 2\frac{1-2^5}{1-2}

S_5 = 2\frac{1-32}{-1} = 62

直接相加也能验证：

2+4+8+16+32 = 62

如果 $q = 1$ ，分母会变成 $0$ ，这时不能直接代入等比求和公式。因为每一项都相等，所以前 $n$ 项和应直接写成

S_n = na_1

“求到 $32$ 为止”表示最后一项是 $32$ ，不表示一共有 $32$ 项。像上面的例题，必须先通过通项关系求出 $n$ 。

有些数列看起来“涨得很快”，就容易被误判成等比；也有人只看前两项就草率下结论。更稳的做法是比较相邻项的差，或比较相邻项的比。

公式

S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}

只在 $q \ne 1$ 时直接适用。若 $q = 1$ ，应改用 $S_n = na_1$ 。

数列求和常见于中学代数题、数学归纳法前的基础训练，以及金融里的分期和复利模型。只要题目给出一串有规律的离散量，又要求总和，数列求和通常就是核心工具。

试着求数列 $4, 9, 14, 19, 24$ 的和。先判断它是不是等差数列，再决定能不能直接用 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ 。

做完后，再试一个等比版本，例如 $3, 6, 12, 24$ 的前 $4$ 项和。把这两题放在一起做，你会更快看出“差固定”和“比固定”的区别。

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