代数分式——化简、相加与相除

代数分式是指分子、分母或两者都含有字母的分式。它的处理方法和普通分数很像，但每一步都只对使分母不为零的取值成立。

例如，$\frac{x+3}{x-2}$ 只在 $x \ne 2$ 时有定义。这个限制从一开始就很重要。即使后面的步骤约去了某个因式，凡是让原分母为零的取值仍然必须排除。

代数分式的含义

在很多教材中，代数分式也叫有理式。它和数值分数的主要区别在于，公因式往往要先因式分解后才能看出来。

很多错误就是从这里开始的。你可以约去公因式，但不能约去和式中的一部分。所以

$$\frac{x+2}{x}$$

不能把分子里某一项中的 $x$ 单独“约掉”来化简。

如何化简代数分式

化简代数分式时：

1. 先找出所有使分母为零的取值。
2. 如果可以，把分子和分母都因式分解。
3. 只约去同时出现在分子和分母中的因式。
4. 最终答案要保留原来的取值限制。

例如，

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

现在公因式 $(x-3)$ 可以约去，所以

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

但原分母表明 $x \ne 0$ 且 $x \ne 3$。化简后的形式更短，但取值限制来自原式。

如何相加代数分式

代数分式相加的方法和普通分数相同：先让分母相同。

如果分母本来就相同，只把分子相加：

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

如果分母不同，就要先把每个分式改写成同分母后再合并。先做因式分解，通常更容易看出最简公分母。

例题：先化简，再相加

化简并相加

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

先把第一个分式因式分解：

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

现在约去公因式 $(x-1)$：

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

所以整个式子变成

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

分母已经相同，所以把分子相加：

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

最终结果是

$$\frac{x+2}{x}$$

原来的限制条件是 $x \ne 0$ 且 $x \ne 1$。$x=1$ 仍然要排除，因为它在化简前会使原分母为零。

如何相除代数分式

分式除法只多一步：乘以第二个分式的倒数。

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

这一步只有在 $B \ne 0$、$D \ne 0$，并且 $C \ne 0$ 时才成立，因为不能除以零。

例如，

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

变成

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

限制条件是 $x \ne -1$ 且 $x \ne 0$。这里 $x \ne 0$ 有两层意义：它既保证 $\frac{2}{x}$ 的分母不为零，也保证除数本身有定义。

代数分式中的常见错误

约去项而不是因式

你可以从

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

中约去 $(x-1)$，但不能从

$$\frac{x+2}{x}$$

中约去 $x$，因为 $x+2$ 是一个和式，不是单个因式。

忘记排除值

化简之后，学生常常只保留新分母对应的限制条件。这样会丢失信息。限制条件来自原式，而不只是化简后的式子。

分母不同就过早直接相加

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

不是

$$\frac{2}{2x+1}$$

必须先通分，再把分子相加。

代数分式的应用

代数分式在代数中非常常见，因为很多公式都是两个代数式的比。你会在化简有理式、解方程、处理速率问题以及学习有理函数时遇到它们。

即使后面的内容更难，核心习惯仍然一样：注意分母，尽早因式分解，只约去完整的因式。

试一试类似题目

先试着化简

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

然后把结果与 $\frac{1}{x}$ 相加。如果你想再快速检验一下对这个思路的理解，也可以自己换一组不同的因式试试看，观察化简后排除值是否会发生变化。