Pecahan Aljabar — Menyederhanakan, Menjumlahkan & Membagi

Pecahan aljabar adalah pecahan yang memuat variabel di pembilang, penyebut, atau keduanya. Cara mengerjakannya mirip seperti pecahan biasa, tetapi setiap langkah hanya berlaku untuk nilai yang membuat penyebut tidak sama dengan nol.

Sebagai contoh, $\frac{x+3}{x-2}$ hanya terdefinisi saat $x \ne 2$. Batasan itu penting sejak awal. Meskipun pada langkah berikutnya ada faktor yang dicoret, nilai apa pun yang membuat penyebut awal bernilai nol tetap harus dikecualikan.

Apa Arti Pecahan Aljabar

Pecahan aljabar juga sering disebut ekspresi rasional di banyak buku pelajaran. Perbedaan utamanya dari pecahan numerik adalah faktor-faktor yang sama sering tersembunyi sampai kamu memfaktorkan ekspresinya.

Di sinilah banyak kesalahan mulai terjadi. Kamu boleh mencoret faktor yang sama, tetapi tidak boleh mencoret sebagian dari suatu penjumlahan. Jadi

$$\frac{x+2}{x}$$

tidak bisa disederhanakan dengan "mencoret $x$" hanya dari satu suku di pembilang.

Cara Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Untuk menyederhanakan pecahan aljabar:

1. Tentukan nilai apa pun yang membuat penyebut sama dengan nol.
2. Faktorkan pembilang dan penyebut jika memungkinkan.
3. Coret hanya faktor yang muncul di pembilang dan penyebut.
4. Pertahankan batasan awal pada jawaban akhir.

Sebagai contoh,

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

Sekarang faktor yang sama $(x-3)$ bisa dicoret, sehingga

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

tetapi penyebut awal menunjukkan bahwa $x \ne 0$ dan $x \ne 3$. Bentuk sederhananya memang lebih singkat, tetapi batasannya berasal dari ekspresi awal.

Cara Menjumlahkan Pecahan Aljabar

Kamu menjumlahkan pecahan aljabar dengan cara yang sama seperti pecahan biasa: samakan dulu penyebutnya.

Jika penyebutnya sudah sama, jumlahkan hanya pembilangnya:

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

Jika penyebutnya berbeda, tulis ulang setiap pecahan dengan penyebut yang sama sebelum menggabungkan apa pun. Memfaktorkan lebih dulu biasanya membuat KPK penyebut lebih mudah terlihat.

Contoh Soal: Sederhanakan, Lalu Jumlahkan

Sederhanakan dan jumlahkan

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

Mulailah dengan memfaktorkan pecahan pertama:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

Sekarang coret faktor yang sama $(x-1)$:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

Jadi seluruh ekspresi menjadi

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

Penyebutnya sudah sama, jadi jumlahkan pembilangnya:

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

Hasil akhirnya adalah

$$\frac{x+2}{x}$$

dengan batasan awal $x \ne 0$ dan $x \ne 1$. Nilai $x=1$ tetap dikecualikan karena membuat penyebut awal bernilai nol sebelum penyederhanaan.

Cara Membagi Pecahan Aljabar

Pembagian menambahkan satu langkah lagi: kalikan dengan kebalikan pecahan kedua.

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

Langkah ini hanya valid jika $B \ne 0$, $D \ne 0$, dan juga $C \ne 0$ karena kamu tidak bisa membagi dengan nol.

Sebagai contoh,

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

menjadi

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

dengan batasan $x \ne -1$ dan $x \ne 0$. Di sini $x \ne 0$ penting dalam dua hal: agar penyebut dari $\frac{2}{x}$ tidak nol, dan agar pembaginya tidak tak terdefinisi.

Kesalahan Umum pada Pecahan Aljabar

Mencoret suku, bukan faktor

Kamu boleh mencoret $(x-1)$ dari

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

tetapi tidak boleh mencoret $x$ dari

$$\frac{x+2}{x}$$

karena $x+2$ adalah penjumlahan, bukan satu faktor tunggal.

Lupa nilai yang dikecualikan

Setelah menyederhanakan, siswa sering hanya menyimpan batasan dari penyebut yang baru. Itu membuat informasi hilang. Batasan berasal dari ekspresi awal, bukan hanya dari bentuk sederhananya.

Terlalu cepat menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

bukan

$$\frac{2}{2x+1}$$

Kamu perlu menyamakan penyebut sebelum menjumlahkan pembilang.

Kapan Pecahan Aljabar Digunakan

Pecahan aljabar muncul di seluruh topik aljabar karena banyak rumus berbentuk perbandingan antar ekspresi. Kamu akan menemukannya saat menyederhanakan ekspresi rasional, menyelesaikan persamaan, bekerja dengan laju, dan mempelajari fungsi rasional.

Meskipun topik berikutnya bisa lebih sulit, kebiasaan intinya tetap sama: perhatikan penyebut, faktorkan lebih awal, dan coret hanya faktor yang utuh.

Coba Soal Serupa

Coba sederhanakan

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

terlebih dahulu. Lalu jumlahkan hasilnya dengan $\frac{1}{x}$. Jika kamu ingin latihan cepat lain dengan ide yang sama, buat versimu sendiri dengan faktor yang berbeda dan lihat apakah nilai yang dikecualikan berubah setelah penyederhanaan.