เศษส่วนพีชคณิต — การย่อ การบวก และการหาร

เศษส่วนพีชคณิตคือเศษส่วนที่มีตัวแปรอยู่ในตัวเศษ ตัวส่วน หรือทั้งสองส่วน วิธีจัดการคล้ายกับเศษส่วนทั่วไป แต่ทุกขั้นตอนจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อค่าของตัวแปรไม่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์

ตัวอย่างเช่น $\frac{x+3}{x-2}$ จะนิยามได้ก็ต่อเมื่อ $x \ne 2$ เท่านั้น ข้อจำกัดนี้สำคัญตั้งแต่เริ่มต้น แม้ว่าในขั้นตอนถัดไปจะมีการตัดตัวประกอบออกไป ค่าที่ทำให้ตัวส่วนเดิมเป็นศูนย์ก็ยังต้องถูกตัดทิ้งอยู่ดี

เศษส่วนพีชคณิตหมายถึงอะไร

ในหนังสือเรียนหลายเล่ม เศษส่วนพีชคณิตยังเรียกว่า นิพจน์ตรรกยะ ความแตกต่างหลักจากเศษส่วนเชิงตัวเลขคือ ตัวประกอบร่วมมักจะยังมองไม่เห็นจนกว่าจะจัดรูปด้วยการแยกตัวประกอบ

จุดนี้เองที่มักเกิดข้อผิดพลาดบ่อย คุณสามารถตัดตัวประกอบร่วมได้ แต่ไม่สามารถตัดเพียงบางส่วนของผลบวกได้ ดังนั้น

$$\frac{x+2}{x}$$

จึงไม่สามารถย่อได้ด้วยการ "ตัด $x$" จากเพียงหนึ่งพจน์ในตัวเศษ

วิธีการย่อเศษส่วนพีชคณิต

ในการย่อเศษส่วนพีชคณิต:

1. หาค่าทุกค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์
2. แยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนถ้าทำได้
3. ตัดได้เฉพาะตัวประกอบที่ปรากฏทั้งในตัวเศษและตัวส่วน
4. คงข้อจำกัดเดิมไว้ในคำตอบสุดท้าย

ตัวอย่างเช่น

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

ตอนนี้ตัวประกอบร่วม $(x-3)$ สามารถตัดได้ ดังนั้น

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

แต่จากตัวส่วนเดิมจะเห็นว่า $x \ne 0$ และ $x \ne 3$ รูปที่ย่อแล้วสั้นกว่า แต่ข้อจำกัดต้องอ้างอิงจากนิพจน์เดิม

วิธีการบวกเศษส่วนพีชคณิต

การบวกเศษส่วนพีชคณิตทำเหมือนการบวกเศษส่วนทั่วไป คือทำให้ตัวส่วนเหมือนกันก่อน

ถ้าตัวส่วนเหมือนกันอยู่แล้ว ให้บวกเฉพาะตัวเศษ:

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

ถ้าตัวส่วนต่างกัน ต้องเขียนแต่ละเศษส่วนใหม่ให้อยู่ในรูปที่มีตัวส่วนร่วมก่อน แล้วจึงค่อยรวมกัน การแยกตัวประกอบก่อนมักช่วยให้เห็นตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่างทำโจทย์: ย่อก่อน แล้วค่อยบวก

จงย่อและบวก

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

เริ่มจากแยกตัวประกอบของเศษส่วนแรก:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

จากนั้นตัดตัวประกอบร่วม $(x-1)$:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

ดังนั้นนิพจน์ทั้งหมดจะกลายเป็น

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

ตัวส่วนเหมือนกันอยู่แล้ว จึงบวกตัวเศษได้เลย:

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

ผลลัพธ์สุดท้ายคือ

$$\frac{x+2}{x}$$

โดยมีข้อจำกัดเดิมคือ $x \ne 0$ และ $x \ne 1$ ค่า $x=1$ ยังต้องถูกตัดทิ้ง เพราะทำให้ตัวส่วนเดิมเป็นศูนย์ก่อนการย่อรูป

วิธีการหารเศษส่วนพีชคณิต

การหารมีเพิ่มมาอีกหนึ่งขั้นตอน คือคูณด้วยเศษส่วนกลับของเศษส่วนตัวที่สอง

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

ขั้นตอนนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $B \ne 0$, $D \ne 0$ และ $C \ne 0$ ด้วย เพราะเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

ตัวอย่างเช่น

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

จะกลายเป็น

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

โดยมีข้อจำกัดคือ $x \ne -1$ และ $x \ne 0$ ในที่นี้ $x \ne 0$ สำคัญอยู่สองครั้ง: มันทำให้ตัวส่วนของ $\frac{2}{x}$ ไม่เป็นศูนย์ และยังป้องกันไม่ให้ตัวหารไม่มีนิยาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับเศษส่วนพีชคณิต

ตัดพจน์แทนที่จะตัดตัวประกอบ

คุณสามารถตัด $(x-1)$ จาก

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

ได้ แต่ไม่สามารถตัด $x$ จาก

$$\frac{x+2}{x}$$

เพราะ $x+2$ เป็นผลบวก ไม่ใช่ตัวประกอบเดี่ยว

ลืมค่าที่ต้องตัดทิ้ง

หลังจากย่อรูปแล้ว นักเรียนมักเก็บไว้แค่ข้อจำกัดของตัวส่วนใหม่เท่านั้น ซึ่งทำให้ข้อมูลหายไป ข้อจำกัดต้องมาจากนิพจน์เดิม ไม่ใช่ดูจากนิพจน์ที่ย่อแล้วอย่างเดียว

บวกข้ามตัวส่วนที่ต่างกันเร็วเกินไป

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

ไม่ใช่

$$\frac{2}{2x+1}$$

คุณต้องหาตัวส่วนร่วมก่อน แล้วจึงค่อยบวกตัวเศษ

เศษส่วนพีชคณิตถูกใช้เมื่อใด

เศษส่วนพีชคณิตปรากฏอยู่ตลอดในวิชาพีชคณิต เพราะสูตรจำนวนมากอยู่ในรูปอัตราส่วนของนิพจน์ คุณจะพบมันเมื่อย่อนิพจน์ตรรกยะ แก้สมการ ทำโจทย์อัตรา และศึกษาฟังก์ชันตรรกยะ

แม้ว่าหัวข้อถัดไปจะยากขึ้น หลักสำคัญก็ยังเหมือนเดิม: ระวังตัวส่วน แยกตัวประกอบให้เร็ว และตัดเฉพาะตัวประกอบเต็มเท่านั้น

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองย่อ

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

ก่อน จากนั้นนำผลลัพธ์ไปบวกกับ $\frac{1}{x}$ ถ้าคุณอยากตรวจความเข้าใจอย่างรวดเร็วในแนวคิดเดียวกัน ลองสร้างโจทย์ของตัวเองโดยเปลี่ยนตัวประกอบ แล้วดูว่าค่าที่ต้องตัดทิ้งเปลี่ยนไปหลังการย่อรูปหรือไม่