有理式

有理式是指分子和分母都是多项式的分式，例如 $\frac{x+1}{x-3}$。由于分母不能为零，所以每个有理式都带有一些不允许取的值。

一般来说，有理式的形式是

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式，并且 $Q(x) \ne 0$。

如果你想快速理解有理式，要同时记住两点：它的化简方式和分数类似，而它的定义域限制来自原来的分母。

什么是有理式？

像下面这样的式子

$$\frac{x+2}{x-5}, \quad \frac{x^2-1}{x^2+x}, \quad \frac{3}{x^2+4}$$

都是有理式，因为它们每一个都是两个多项式的商。

相对地，$\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在初等代数中通常不看作有理式，因为 $\sqrt{x}$ 不是多项式。

如何安全地化简有理式

最关键的规则很简单：约因式，不约项。如果分子和分母有公因式，就可以同时除以这个因式；但不能把和或差中的一部分直接约掉。

例如，

$$\frac{x+1}{x+3}$$

不能通过“把 $x$ 约掉”来化简。因为分子和分母都是和式，不是相同的因式。

这就是为什么要先因式分解。因式分解能帮助你看出是否真的存在公因式。

例题：化简一个有理式

化简

$$\frac{x^2-1}{x^2+x}.$$

在化简之前，先找出使原分母为零的值：

$$x^2 + x = x(x+1),$$

所以 $x \ne 0$ 且 $x \ne -1$。

现在分别对分子和分母因式分解：

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

以及

$$x^2+x = x(x+1)。$$

所以原式变为

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}.$$

现在有公因式 $(x+1)$，所以可以约去：

$$\frac{x-1}{x}.$$

因此，化简后的式子是 $\frac{x-1}{x}$，同时保留原来的限制条件 $x \ne 0$ 和 $x \ne -1$。

虽然因式 $(x+1)$ 在最后的分式中消失了，但限制条件 $x \ne -1$ 并没有消失。因为原式在这个值处没有定义，所以化简后的答案也必须保留这个条件。

为什么定义域限制很重要

这不只是一个技术细节。它会改变哪些值属于这个式子的定义域，也就是哪些输入值是有意义的。

例如，化简后的式子

$$\frac{x-1}{x}$$

在很多值处都有定义，但如果它来自

$$\frac{x^2-1}{x^2+x},$$

那么 $x=-1$ 仍然必须排除，因为原分母在这里会变成零。

化简可以改变有理式的外观，但不会消除原式没有定义的那些点。

有理式中的常见错误

1. 约掉项而不是因式。这是有理式中最常见的代数错误。
2. 忘记先因式分解。不先分解，往往看不出约分是否合法。
3. 化简后丢掉分母的限制条件。限制来自原来的分母。
4. 认为每个有理式都能继续化简。有些式子本来就已经是最简形式。

什么时候会用到有理式

有理式会出现在代数、预备微积分和微积分中。你会在化简公式、解有理方程、研究带有竖直渐近线的图像，以及进行部分分式分解时看到它们。

它之所以重要，是因为很多公式本质上都是比值。一旦你会因式分解、化简并跟踪限制条件，后面的很多内容都会更容易处理。

试着做一道类似的题

试着化简

$$\frac{x^2+3x}{x^2-9}.$$

先因式分解，只约去存在的公因式，并写出由原分母得到的变量限制。然后检查你的最终答案是否仍然保留了原分母排除掉的所有取值。