Algebraische Brüche — vereinfachen, addieren & dividieren

Algebraische Brüche sind Brüche, die Variablen im Zähler, im Nenner oder in beiden enthalten. Man behandelt sie ähnlich wie gewöhnliche Brüche, aber jeder Schritt ist nur für Werte gültig, bei denen der Nenner nicht null wird.

Zum Beispiel ist $\frac{x+3}{x-2}$ nur definiert, wenn $x \ne 2$. Diese Einschränkung ist von Anfang an wichtig. Auch wenn in einem späteren Schritt ein Faktor gekürzt wird, bleiben alle Werte ausgeschlossen, die den ursprünglichen Nenner null gemacht hätten.

Was algebraische Brüche bedeuten

Ein algebraischer Bruch wird in vielen Lehrbüchern auch rationaler Ausdruck genannt. Der wichtigste Unterschied zu einem Zahlenbruch ist, dass gemeinsame Faktoren oft erst sichtbar werden, wenn man die Terme faktorisiert.

Hier beginnen viele Fehler. Man darf einen gemeinsamen Faktor kürzen, aber nicht einen Teil einer Summe. Also lässt sich

$$\frac{x+2}{x}$$

nicht vereinfachen, indem man das $x$ nur aus einem Term im Zähler „wegkürzt“.

So vereinfacht man algebraische Brüche

Um einen algebraischen Bruch zu vereinfachen:

1. Bestimme alle Werte, die den Nenner null machen.
2. Faktorisiere Zähler und Nenner, wenn möglich.
3. Kürze nur Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen.
4. Übernimm die ursprünglichen Einschränkungen in die Endlösung.

Zum Beispiel gilt

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

Jetzt kann der gemeinsame Faktor $(x-3)$ gekürzt werden, also

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

aber der ursprüngliche Nenner zeigt, dass $x \ne 0$ und $x \ne 3$ gelten muss. Die vereinfachte Form ist kürzer, aber die Einschränkungen kommen aus dem ursprünglichen Ausdruck.

So addiert man algebraische Brüche

Man addiert algebraische Brüche genauso wie gewöhnliche Brüche: Zuerst müssen die Nenner gleich sein.

Wenn die Nenner bereits gleich sind, addiert man nur die Zähler:

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

Wenn die Nenner verschieden sind, schreibt man jeden Bruch zuerst auf einen gemeinsamen Nenner um, bevor man etwas zusammenfasst. Durch Faktorisieren erkennt man den kleinsten gemeinsamen Nenner meist leichter.

Durchgerechnetes Beispiel: zuerst vereinfachen, dann addieren

Vereinfache und addiere

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

Beginne damit, den ersten Bruch zu faktorisieren:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

Nun kürze den gemeinsamen Faktor $(x-1)$:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

Damit wird der ganze Ausdruck zu

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

Die Nenner stimmen bereits überein, also addiere die Zähler:

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

Das Endergebnis ist

$$\frac{x+2}{x}$$

mit den ursprünglichen Einschränkungen $x \ne 0$ und $x \ne 1$. Der Wert $x=1$ bleibt ausgeschlossen, weil er vor dem Vereinfachen den ursprünglichen Nenner null gemacht hat.

So dividiert man algebraische Brüche

Beim Dividieren kommt ein zusätzlicher Schritt dazu: Man multipliziert mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

Dieser Schritt ist nur gültig, wenn $B \ne 0$, $D \ne 0$ und außerdem $C \ne 0$ gilt, weil man nicht durch null teilen darf.

Zum Beispiel wird

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

zu

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

mit den Einschränkungen $x \ne -1$ und $x \ne 0$. Hier ist $x \ne 0$ aus zwei Gründen wichtig: Es sorgt dafür, dass der Nenner von $\frac{2}{x}$ nicht null ist, und verhindert außerdem, dass der Divisor undefiniert ist.

Häufige Fehler bei algebraischen Brüchen

Terme statt Faktoren kürzen

Man darf $(x-1)$ aus

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

kürzen, aber nicht das $x$ aus

$$\frac{x+2}{x}$$

weil $x+2$ eine Summe und kein einzelner Faktor ist.

Ausgeschlossene Werte vergessen

Nach dem Vereinfachen behalten Schülerinnen und Schüler oft nur noch die Einschränkung aus dem neuen Nenner. Dabei geht Information verloren. Die Einschränkungen kommen aus dem ursprünglichen Ausdruck, nicht nur aus der vereinfachten Form.

Zu früh über verschiedene Nenner hinweg addieren

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

ist nicht

$$\frac{2}{2x+1}$$

Man braucht zuerst einen gemeinsamen Nenner, bevor man die Zähler addiert.

Wo algebraische Brüche verwendet werden

Algebraische Brüche kommen in der gesamten Algebra vor, weil viele Formeln Verhältnisse von Ausdrücken sind. Man begegnet ihnen beim Vereinfachen rationaler Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen, beim Arbeiten mit Raten und beim Untersuchen rationaler Funktionen.

Auch wenn spätere Themen schwieriger werden, bleiben die Grundregeln gleich: Achte auf den Nenner, faktorisiere früh und kürze nur vollständige Faktoren.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche zuerst,

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

zu vereinfachen. Addiere dein Ergebnis dann zu $\frac{1}{x}$. Wenn du dieselbe Idee noch einmal kurz prüfen willst, erstelle ein eigenes Beispiel mit anderen Faktoren und schau, ob sich die ausgeschlossenen Werte nach dem Vereinfachen ändern.