Phân thức đại số — Rút gọn, Cộng và Chia

Phân thức đại số là những phân thức có chứa biến ở tử số, mẫu số hoặc cả hai. Cách xử lý khá giống với phân số thông thường, nhưng mỗi bước chỉ đúng với những giá trị làm cho mẫu số khác 0.

Ví dụ, $\frac{x+3}{x-2}$ chỉ xác định khi $x \ne 2$. Điều kiện này quan trọng ngay từ đầu. Dù ở bước sau có rút gọn một nhân tử đi nữa, mọi giá trị làm mẫu số ban đầu bằng 0 vẫn phải bị loại.

Phân Thức Đại Số Có Nghĩa Là Gì

Trong nhiều sách giáo khoa, phân thức đại số còn được gọi là biểu thức hữu tỉ. Điểm khác chính so với phân số số học là các nhân tử chung thường bị ẩn đi cho đến khi bạn phân tích biểu thức thành nhân tử.

Đây là chỗ nhiều lỗi thường bắt đầu. Bạn có thể rút gọn một nhân tử chung, nhưng không thể rút gọn một phần của tổng. Vì vậy

$$\frac{x+2}{x}$$

không thể rút gọn bằng cách "khử $x$" chỉ từ một hạng tử ở tử số.

Cách Rút Gọn Phân Thức Đại Số

Để rút gọn một phân thức đại số:

1. Tìm mọi giá trị làm mẫu số bằng 0.
2. Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử nếu có thể.
3. Chỉ rút gọn những nhân tử xuất hiện ở cả tử số và mẫu số.
4. Giữ lại các điều kiện ban đầu trong đáp án cuối cùng.

Ví dụ,

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

Bây giờ nhân tử chung $(x-3)$ có thể được rút gọn, nên

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

nhưng mẫu số ban đầu cho thấy $x \ne 0$ và $x \ne 3$. Dạng đã rút gọn ngắn hơn, nhưng các điều kiện phải lấy từ biểu thức ban đầu.

Cách Cộng Phân Thức Đại Số

Bạn cộng phân thức đại số giống như cộng phân số thông thường: trước hết phải đưa các mẫu số về giống nhau.

Nếu các mẫu số đã giống nhau, chỉ cộng các tử số:

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

Nếu các mẫu số khác nhau, hãy viết lại mỗi phân thức với một mẫu số chung trước khi gộp lại. Việc phân tích thành nhân tử trước thường giúp bạn dễ nhìn ra mẫu số chung nhỏ nhất hơn.

Ví Dụ Giải: Rút Gọn Rồi Cộng

Hãy rút gọn và cộng

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

Bắt đầu bằng cách phân tích phân thức thứ nhất thành nhân tử:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

Bây giờ rút gọn nhân tử chung $(x-1)$:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

Vậy toàn bộ biểu thức trở thành

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

Các mẫu số đã giống nhau, nên cộng các tử số:

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

Kết quả cuối cùng là

$$\frac{x+2}{x}$$

với điều kiện ban đầu $x \ne 0$ và $x \ne 1$. Giá trị $x=1$ vẫn bị loại vì nó làm mẫu số ban đầu bằng 0 trước khi rút gọn.

Cách Chia Phân Thức Đại Số

Phép chia thêm một bước nữa: nhân với nghịch đảo của phân thức thứ hai.

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

Bước này chỉ đúng khi $B \ne 0$, $D \ne 0$, và cả $C \ne 0$ vì bạn không thể chia cho 0.

Ví dụ,

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

trở thành

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

với các điều kiện $x \ne -1$ và $x \ne 0$. Ở đây $x \ne 0$ quan trọng theo hai cách: nó giữ cho mẫu số của $\frac{2}{x}$ khác 0, và nó ngăn số chia trở nên không xác định.

Những Lỗi Thường Gặp Với Phân Thức Đại Số

Rút gọn hạng tử thay vì nhân tử

Bạn có thể rút gọn $(x-1)$ trong

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

nhưng không thể rút gọn $x$ trong

$$\frac{x+2}{x}$$

vì $x+2$ là một tổng, không phải một nhân tử đơn.

Quên các giá trị bị loại

Sau khi rút gọn, học sinh thường chỉ giữ điều kiện từ mẫu số mới. Điều đó làm mất thông tin. Các điều kiện phải xuất phát từ biểu thức ban đầu, không chỉ từ biểu thức đã rút gọn.

Cộng khi mẫu số khác nhau quá sớm

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

không phải là

$$\frac{2}{2x+1}$$

Bạn cần có mẫu số chung trước khi cộng các tử số.

Khi Nào Dùng Phân Thức Đại Số

Phân thức đại số xuất hiện xuyên suốt đại số vì nhiều công thức là tỉ số của các biểu thức. Bạn sẽ gặp chúng khi rút gọn biểu thức hữu tỉ, giải phương trình, làm việc với các đại lượng tốc độ, và học về hàm hữu tỉ.

Dù chủ đề về sau có khó hơn, những thói quen cốt lõi vẫn giữ nguyên: chú ý mẫu số, phân tích thành nhân tử sớm, và chỉ rút gọn các nhân tử trọn vẹn.

Thử Một Bài Tương Tự

Hãy thử rút gọn

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

trước. Sau đó cộng kết quả của bạn với $\frac{1}{x}$. Nếu muốn kiểm tra nhanh thêm về cùng ý tưởng này, hãy tự tạo một ví dụ với các nhân tử khác và xem các giá trị bị loại có thay đổi sau khi rút gọn hay không.