Cebirsel Kesirler — Sadeleştirme, Toplama ve Bölme

Cebirsel kesirler, payında, paydasında ya da her ikisinde değişken bulunan kesirlerdir. Bunlarla sıradan kesirler gibi işlem yaparsınız, ancak her adım yalnızca paydayı sıfır yapmayan değerler için geçerlidir.

Örneğin, $\frac{x+3}{x-2}$ yalnızca $x \ne 2$ iken tanımlıdır. Bu kısıtlama en baştan önemlidir. Sonraki bir adımda bir çarpan sadeleşse bile, başlangıçtaki paydayı sıfır yapan her değer yine dışlanır.

Cebirsel Kesirler Ne Anlama Gelir?

Cebirsel kesir, birçok ders kitabında rasyonel ifade olarak da adlandırılır. Sayısal bir kesirden temel farkı, ortak çarpanların çoğu zaman ifadeler çarpanlara ayrılana kadar görünmemesidir.

Birçok hata burada başlar. Ortak bir çarpanı sadeleştirebilirsiniz, ama bir toplamın yalnızca bir kısmını sadeleştiremezsiniz. Bu yüzden

$$\frac{x+2}{x}$$

ifadesi, paydaki yalnızca bir terimden "$x$ sadeleştirilerek" basitleştirilemez.

Cebirsel Kesirler Nasıl Sadeleştirilir?

Bir cebirsel kesri sadeleştirmek için:

1. Paydayı sıfır yapan değerleri bulun.
2. Mümkünse payı ve paydayı çarpanlarına ayırın.
3. Yalnızca hem payda hem payda bulunan ortak çarpanları sadeleştirin.
4. Sonuçta başlangıçtaki kısıtlamaları koruyun.

Örneğin,

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

Artık ortak çarpan $(x-3)$ sadeleştirilebilir, dolayısıyla

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

ancak ilk payda bize $x \ne 0$ ve $x \ne 3$ olduğunu gösterir. Sadeleştirilmiş biçim daha kısadır, ama kısıtlamalar ilk ifadeden gelir.

Cebirsel Kesirler Nasıl Toplanır?

Cebirsel kesirleri, sıradan kesirleri topladığınız gibi toplarsınız: önce paydaları eşitlersiniz.

Paydalar zaten aynıysa, yalnızca payları toplarsınız:

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

Paydalar farklıysa, herhangi bir birleştirme yapmadan önce her kesri ortak payda kullanacak şekilde yeniden yazın. Önce çarpanlara ayırmak, en küçük ortak paydayı görmeyi genellikle kolaylaştırır.

Çözümlü Örnek: Önce Sadeleştir, Sonra Topla

Sadeleştirin ve toplayın:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

İlk kesri çarpanlarına ayırarak başlayın:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

Şimdi ortak çarpan $(x-1)$'i sadeleştirin:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

Böylece tüm ifade

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

olur.

Paydalar zaten aynı, bu yüzden payları toplayın:

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

Sonuç

$$\frac{x+2}{x}$$

olur; başlangıçtaki kısıtlama ise $x \ne 0$ ve $x \ne 1$ şeklindedir. $x=1$ değeri hâlâ dışlanır, çünkü sadeleştirmeden önce ilk paydayı sıfır yapıyordu.

Cebirsel Kesirlerde Bölme Nasıl Yapılır?

Bölmede bir ek adım vardır: ikinci kesrin çarpmaya göre tersini alıp çarparsınız.

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

Bu adım yalnızca $B \ne 0$, $D \ne 0$ ve ayrıca $C \ne 0$ iken geçerlidir; çünkü sıfıra bölme yapılamaz.

Örneğin,

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

ifadesi

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

şekline gelir; kısıtlamalar ise $x \ne -1$ ve $x \ne 0$ olur. Burada $x \ne 0$ iki kez önemlidir: hem $\frac{2}{x}$ ifadesinin paydasını sıfır olmaktan korur hem de bölenin tanımsız olmasını engeller.

Cebirsel Kesirlerde Sık Yapılan Hatalar

Terimleri değil, çarpanları sadeleştirmek gerekir

Şu ifadede $(x-1)$ sadeleştirilebilir:

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

ama şu ifadede $x$ sadeleştirilemez:

$$\frac{x+2}{x}$$

çünkü $x+2$ bir toplamdır, tek bir çarpan değildir.

Dışlanan değerleri unutmak

Sadeleştirmeden sonra öğrenciler çoğu zaman yalnızca yeni paydanın kısıtlamasını bırakır. Bu bilgi kaybına yol açar. Kısıtlamalar yalnızca sadeleştirilmiş ifadeden değil, ilk ifadeden gelir.

Farklı paydalarda çok erken toplama yapmak

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

ifadesi

$$\frac{2}{2x+1}$$

değildir.

Payları toplamadan önce ortak bir payda bulmanız gerekir.

Cebirsel Kesirler Nerelerde Kullanılır?

Cebirsel kesirler cebirin birçok yerinde karşınıza çıkar, çünkü pek çok formül ifadelerin oranı biçimindedir. Bunlarla rasyonel ifadeleri sadeleştirirken, denklemleri çözerken, hız-oran problemlerinde ve rasyonel fonksiyonları incelerken karşılaşırsınız.

Sonraki konu daha zor olsa bile temel alışkanlıklar aynı kalır: paydaya dikkat edin, erken çarpanlara ayırın ve yalnızca tam çarpanları sadeleştirin.

Benzer Bir Soru Deneyin

Önce

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

ifadesini sadeleştirmeyi deneyin. Sonra sonucunuzu $\frac{1}{x}$ ile toplayın. Aynı fikri hızlıca kontrol etmek isterseniz, farklı çarpanlarla kendi örneğinizi kurup sadeleştirmeden sonra dışlanan değerlerin değişip değişmediğine bakın.