Frazioni algebriche — semplificare, sommare e dividere

Le frazioni algebriche sono frazioni che contengono variabili nel numeratore, nel denominatore oppure in entrambi. Si trattano in modo molto simile alle frazioni ordinarie, ma ogni passaggio è valido solo per i valori che mantengono il denominatore diverso da zero.

Per esempio, $\frac{x+3}{x-2}$ è definita solo quando $x \ne 2$. Questa restrizione è importante fin dall'inizio. Anche se in un passaggio successivo si semplifica un fattore, ogni valore che annullava il denominatore originale resta comunque escluso.

Cosa significano le frazioni algebriche

In molti libri di testo, una frazione algebrica è chiamata anche espressione razionale. La differenza principale rispetto a una frazione numerica è che i fattori comuni spesso non si vedono subito, finché non scomponi le espressioni.

È qui che iniziano molti errori. Puoi semplificare un fattore comune, ma non puoi semplificare una sola parte di una somma. Quindi

$$\frac{x+2}{x}$$

non si semplifica "eliminando la $x$" da un solo termine del numeratore.

Come semplificare le frazioni algebriche

Per semplificare una frazione algebrica:

1. Trova tutti i valori che rendono il denominatore uguale a zero.
2. Scomponi, se possibile, il numeratore e il denominatore.
3. Semplifica solo i fattori che compaiono sia nel numeratore sia nel denominatore.
4. Mantieni nella risposta finale le restrizioni originali.

Per esempio,

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

Ora il fattore comune $(x-3)$ si può semplificare, quindi

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

ma il denominatore originale mostra che $x \ne 0$ e $x \ne 3$. La forma semplificata è più corta, ma le restrizioni vengono dall'espressione originale.

Come sommare le frazioni algebriche

Le frazioni algebriche si sommano nello stesso modo delle frazioni ordinarie: prima bisogna rendere uguali i denominatori.

Se i denominatori sono già uguali, si sommano solo i numeratori:

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

Se i denominatori sono diversi, riscrivi ogni frazione con un denominatore comune prima di combinare qualsiasi cosa. Scomporre prima di solito rende più facile individuare il minimo comune denominatore.

Esempio svolto: prima semplifica, poi somma

Semplifica e somma

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

Inizia scomponendo la prima frazione:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

Ora semplifica il fattore comune $(x-1)$:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

Quindi l'espressione completa diventa

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

I denominatori sono già uguali, quindi somma i numeratori:

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

Il risultato finale è

$$\frac{x+2}{x}$$

con la restrizione originale $x \ne 0$ e $x \ne 1$. Il valore $x=1$ resta comunque escluso perché annullava il denominatore originale prima della semplificazione.

Come dividere le frazioni algebriche

La divisione aggiunge un passaggio in più: moltiplicare per il reciproco della seconda frazione.

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

Questo passaggio è valido solo quando $B \ne 0$, $D \ne 0$ e anche $C \ne 0$, perché non si può dividere per zero.

Per esempio,

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

diventa

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

con le restrizioni $x \ne -1$ e $x \ne 0$. Qui $x \ne 0$ è importante per due motivi: mantiene diverso da zero il denominatore di $\frac{2}{x}$ e impedisce che il divisore sia indefinito.

Errori comuni con le frazioni algebriche

Semplificare termini invece di fattori

Puoi semplificare $(x-1)$ in

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

ma non la $x$ in

$$\frac{x+2}{x}$$

perché $x+2$ è una somma, non un singolo fattore.

Dimenticare i valori esclusi

Dopo la semplificazione, gli studenti spesso mantengono solo la nuova restrizione del denominatore. Così però si perde informazione. Le restrizioni vengono dall'espressione originale, non solo da quella semplificata.

Sommare troppo presto con denominatori diversi

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

non è

$$\frac{2}{2x+1}$$

Serve un denominatore comune prima di sommare i numeratori.

Quando si usano le frazioni algebriche

Le frazioni algebriche compaiono in tutta l'algebra perché molte formule sono rapporti tra espressioni. Le incontri quando semplifichi espressioni razionali, risolvi equazioni, lavori con le velocità o studi le funzioni razionali.

Anche se l'argomento successivo è più difficile, le abitudini fondamentali restano le stesse: controlla il denominatore, scomponi presto e semplifica solo fattori completi.

Prova un esercizio simile

Prova prima a semplificare

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

Poi somma il risultato con $\frac{1}{x}$. Se vuoi un altro controllo rapido sulla stessa idea, prova una tua versione con fattori diversi e verifica se i valori esclusi cambiano dopo la semplificazione.