Ułamki algebraiczne — upraszczanie, dodawanie i dzielenie

Ułamki algebraiczne to ułamki, które zawierają zmienne w liczniku, mianowniku albo w obu tych miejscach. Postępuje się z nimi podobnie jak ze zwykłymi ułamkami, ale każdy krok jest poprawny tylko dla takich wartości, które nie zerują mianownika.

Na przykład $\frac{x+3}{x-2}$ jest określony tylko wtedy, gdy $x \ne 2$. To ograniczenie ma znaczenie od samego początku. Nawet jeśli w późniejszym kroku jakiś czynnik się skróci, każda wartość, która zerowała pierwotny mianownik, nadal jest wykluczona.

Co oznaczają ułamki algebraiczne

W wielu podręcznikach ułamek algebraiczny nazywa się też wyrażeniem wymiernym. Główna różnica w porównaniu z ułamkiem liczbowym polega na tym, że wspólne czynniki często są ukryte, dopóki nie rozłożysz wyrażeń na czynniki.

W tym miejscu zaczyna się wiele błędów. Możesz skrócić wspólny czynnik, ale nie możesz skracać części sumy. Dlatego

$$\frac{x+2}{x}$$

nie upraszcza się przez „skrócenie $x$” tylko z jednego składnika licznika.

Jak upraszczać ułamki algebraiczne

Aby uprościć ułamek algebraiczny:

1. Znajdź wszystkie wartości, które zerują mianownik.
2. Rozłóż licznik i mianownik na czynniki, jeśli to możliwe.
3. Skracaj tylko te czynniki, które występują jednocześnie w liczniku i mianowniku.
4. Zachowaj pierwotne ograniczenia w odpowiedzi końcowej.

Na przykład

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

Teraz można skrócić wspólny czynnik $(x-3)$, więc

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

ale pierwotny mianownik pokazuje, że $x \ne 0$ oraz $x \ne 3$. Postać uproszczona jest krótsza, ale ograniczenia wynikają z wyrażenia początkowego.

Jak dodawać ułamki algebraiczne

Ułamki algebraiczne dodaje się tak samo jak zwykłe ułamki: najpierw trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika.

Jeśli mianowniki są już takie same, dodajesz tylko liczniki:

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

Jeśli mianowniki są różne, przepisz każdy ułamek tak, aby miał wspólny mianownik, zanim cokolwiek połączysz. Wcześniejsze rozłożenie na czynniki zwykle ułatwia zauważenie najmniejszego wspólnego mianownika.

Przykład rozwiązany: najpierw uprość, potem dodaj

Uprość i dodaj

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

Zacznij od rozłożenia pierwszego ułamka na czynniki:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

Teraz skróć wspólny czynnik $(x-1)$:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

Całe wyrażenie ma więc postać

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

Mianowniki już są takie same, więc dodaj liczniki:

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

Wynik końcowy to

$$\frac{x+2}{x}$$

z pierwotnym ograniczeniem $x \ne 0$ oraz $x \ne 1$. Wartość $x=1$ nadal jest wykluczona, ponieważ przed uproszczeniem zerowała pierwotny mianownik.

Jak dzielić ułamki algebraiczne

Przy dzieleniu dochodzi jeden dodatkowy krok: mnożysz przez odwrotność drugiego ułamka.

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

Ten krok jest poprawny tylko wtedy, gdy $B \ne 0$, $D \ne 0$ oraz także $C \ne 0$, ponieważ nie wolno dzielić przez zero.

Na przykład

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

przyjmuje postać

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

z ograniczeniami $x \ne -1$ oraz $x \ne 0$. Tutaj warunek $x \ne 0$ ma znaczenie podwójne: sprawia, że mianownik $\frac{2}{x}$ nie jest zerem, i zapobiega temu, by dzielnik był nieokreślony.

Typowe błędy przy ułamkach algebraicznych

Skracanie składników zamiast czynników

Możesz skrócić $(x-1)$ w

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

ale nie możesz skrócić $x$ w

$$\frac{x+2}{x}$$

ponieważ $x+2$ jest sumą, a nie pojedynczym czynnikiem.

Zapominanie o wartościach wykluczonych

Po uproszczeniu uczniowie często zostawiają tylko ograniczenie wynikające z nowego mianownika. To prowadzi do utraty informacji. Ograniczenia wynikają z wyrażenia początkowego, a nie tylko z postaci uproszczonej.

Zbyt wczesne dodawanie przy różnych mianownikach

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

to nie jest

$$\frac{2}{2x+1}$$

Zanim dodasz liczniki, musisz mieć wspólny mianownik.

Gdzie wykorzystuje się ułamki algebraiczne

Ułamki algebraiczne pojawiają się w całej algebrze, ponieważ wiele wzorów jest ilorazami wyrażeń. Spotykasz je przy upraszczaniu wyrażeń wymiernych, rozwiązywaniu równań, pracy z szybkościami oraz przy badaniu funkcji wymiernych.

Nawet jeśli późniejszy temat jest trudniejszy, podstawowe nawyki pozostają takie same: pilnuj mianownika, wcześnie rozkładaj na czynniki i skracaj tylko całe czynniki.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj najpierw uprościć

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

a potem dodaj swój wynik do $\frac{1}{x}$. Jeśli chcesz jeszcze raz szybko sprawdzić tę samą ideę, ułóż własną wersję z innymi czynnikami i zobacz, czy wartości wykluczone zmieniają się po uproszczeniu.