대수분수 — 약분, 덧셈, 나눗셈

대수분수는 분자, 분모 또는 둘 다에 문자가 들어 있는 분수입니다. 다루는 방법은 보통 분수와 비슷하지만, 모든 과정은 분모가 0이 되지 않는 값에서만 유효합니다.

예를 들어, $\frac{x+3}{x-2}$ 는 $x \ne 2$ 일 때만 정의됩니다. 이 제한은 처음부터 중요합니다. 나중 단계에서 어떤 인수를 약분하더라도, 원래 분모를 0으로 만들었던 값은 여전히 제외됩니다.

대수분수의 의미

대수분수는 많은 교과서에서 유리식이라고도 부릅니다. 수만 들어 있는 분수와의 가장 큰 차이는, 식을 인수분해하기 전까지는 공통인수가 바로 보이지 않는 경우가 많다는 점입니다.

많은 실수가 여기서 시작됩니다. 공통인수는 약분할 수 있지만, 합의 일부만 약분할 수는 없습니다. 따라서

$$\frac{x+2}{x}$$

는 분자의 한 항에만 있는 $x$ 를 "약분"해서 간단히 만들 수 없습니다.

대수분수 약분하는 방법

대수분수를 약분하려면 다음 순서를 따릅니다.

1. 분모를 0으로 만드는 값을 찾습니다.
2. 가능하면 분자와 분모를 인수분해합니다.
3. 분자와 분모에 모두 나타나는 인수만 약분합니다.
4. 최종 답에도 처음의 제한 조건을 그대로 유지합니다.

예를 들어,

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

이제 공통인수 $(x-3)$ 를 약분할 수 있으므로,

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

가 됩니다. 하지만 원래 분모를 보면 $x \ne 0$ 이고 $x \ne 3$ 입니다. 약분한 식이 더 짧아졌더라도, 제한 조건은 원래 식에서 정해집니다.

대수분수 더하는 방법

대수분수의 덧셈은 보통 분수의 덧셈과 같습니다. 먼저 분모를 같게 만들어야 합니다.

분모가 이미 같다면 분자끼리만 더합니다.

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

분모가 다르면, 바로 합치기 전에 각 분수를 공통분모를 갖도록 고쳐 써야 합니다. 보통 먼저 인수분해하면 최소공통분모를 더 쉽게 찾을 수 있습니다.

풀이 예제: 먼저 약분하고, 그다음 더하기

다음을 약분하고 더해 봅시다.

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

먼저 첫 번째 분수를 인수분해합니다.

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

이제 공통인수 $(x-1)$ 를 약분합니다.

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

그러면 전체 식은

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

가 됩니다.

분모가 이미 같으므로 분자를 더합니다.

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

최종 결과는

$$\frac{x+2}{x}$$

입니다. 단, 원래 제한 조건 $x \ne 0$ 과 $x \ne 1$ 을 함께 써야 합니다. $x=1$ 은 약분 후에는 보이지 않더라도, 원래 분모를 0으로 만들었기 때문에 여전히 제외됩니다.

대수분수 나누는 방법

나눗셈에서는 한 단계가 더 추가됩니다. 두 번째 분수의 역수로 곱합니다.

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

이 과정은 $B \ne 0$, $D \ne 0$ 일 때만 가능하며, 0으로 나눌 수 없으므로 $C \ne 0$ 이어야 합니다.

예를 들어,

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

는

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

가 됩니다. 제한 조건은 $x \ne -1$ 과 $x \ne 0$ 입니다. 여기서 $x \ne 0$ 은 두 번 중요합니다. $\frac{2}{x}$ 의 분모가 0이 되지 않게 하고, 나누는 분수 자체가 정의되지 않는 것도 막아 줍니다.

대수분수에서 자주 하는 실수

인수가 아니라 항을 약분하는 경우

다음 식에서는 $(x-1)$ 을 약분할 수 있습니다.

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

하지만 다음 식에서는 $x$ 를 약분할 수 없습니다.

$$\frac{x+2}{x}$$

왜냐하면 $x+2$ 는 하나의 인수가 아니라 합이기 때문입니다.

제외되는 값을 잊는 경우

약분한 뒤에 새 분모에서 나온 제한만 남기는 경우가 많습니다. 그러면 정보가 빠집니다. 제한 조건은 약분한 식만이 아니라 원래 식에서 결정됩니다.

분모가 다른데 너무 일찍 더하는 경우

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

는

$$\frac{2}{2x+1}$$

가 아닙니다. 분자를 더하기 전에 먼저 공통분모를 만들어야 합니다.

대수분수는 어디에 쓰일까?

대수분수는 많은 공식이 식의 비로 이루어져 있기 때문에 대수 전반에서 계속 등장합니다. 유리식을 간단히 할 때, 방정식을 풀 때, 속력이나 비율을 다룰 때, 그리고 유리함수를 배울 때 만나게 됩니다.

뒤에 배우는 내용이 더 어려워지더라도 핵심 습관은 같습니다. 분모를 항상 확인하고, 일찍 인수분해하며, 완전한 인수만 약분해야 합니다.

비슷한 문제에 도전해 보세요

먼저

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

를 약분해 보세요. 그런 다음 그 결과에 $\frac{1}{x}$ 를 더해 보세요. 같은 개념을 한 번 더 확인하고 싶다면, 인수를 바꾼 비슷한 식을 직접 만들어 보고 약분 후 제외되는 값이 달라지는지도 살펴보세요.