Frações Algébricas — Simplificar, Somar e Dividir

Frações algébricas são frações que contêm variáveis no numerador, no denominador ou em ambos. Você trabalha com elas de forma parecida com as frações comuns, mas cada passo só é válido para valores que mantêm o denominador diferente de zero.

Por exemplo, $\frac{x+3}{x-2}$ está definida apenas quando $x \ne 2$. Essa restrição importa desde o início. Mesmo que um passo posterior cancele um fator, qualquer valor que zere o denominador original continua excluído.

O Que Significam as Frações Algébricas

Em muitos livros, uma fração algébrica também é chamada de expressão racional. A principal diferença em relação a uma fração numérica é que os fatores comuns muitas vezes ficam escondidos até você fatorar as expressões.

É aí que muitos erros começam. Você pode cancelar um fator comum, mas não pode cancelar parte de uma soma. Então

$$\frac{x+2}{x}$$

não se simplifica "cancelando o $x$" de apenas um termo do numerador.

Como Simplificar Frações Algébricas

Para simplificar uma fração algébrica:

1. Encontre quaisquer valores que façam o denominador ser zero.
2. Fatore o numerador e o denominador, se possível.
3. Cancele apenas os fatores que aparecem tanto no numerador quanto no denominador.
4. Mantenha as restrições originais na resposta final.

Por exemplo,

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$$

Agora o fator comum $(x-3)$ pode ser cancelado, então

$$\frac{x^2-9}{x^2-3x} = \frac{x+3}{x}$$

mas o denominador original mostra que $x \ne 0$ e $x \ne 3$. A forma simplificada é mais curta, mas as restrições vêm da expressão original.

Como Somar Frações Algébricas

Você soma frações algébricas do mesmo jeito que soma frações comuns: primeiro, faça os denominadores coincidirem.

Se os denominadores já forem iguais, some apenas os numeradores:

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$$

Se os denominadores forem diferentes, reescreva cada fração usando um denominador comum antes de combinar qualquer coisa. Fatorar antes geralmente torna o mínimo denominador comum mais fácil de identificar.

Exemplo Resolvido: Simplificar e Depois Somar

Simplifique e some

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} + \frac{1}{x}$$

Comece fatorando a primeira fração:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

Agora cancele o fator comum $(x-1)$:

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x+1}{x}$$

Então a expressão inteira fica

$$\frac{x+1}{x} + \frac{1}{x}$$

Os denominadores já coincidem, então some os numeradores:

$$\frac{x+1+1}{x} = \frac{x+2}{x}$$

O resultado final é

$$\frac{x+2}{x}$$

com a restrição original $x \ne 0$ e $x \ne 1$. O valor $x=1$ continua excluído porque zerava o denominador original antes da simplificação.

Como Dividir Frações Algébricas

A divisão acrescenta um passo extra: multiplicar pelo inverso da segunda fração.

$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$$

Esse passo só é válido quando $B \ne 0$, $D \ne 0$ e também $C \ne 0$, porque não se pode dividir por zero.

Por exemplo,

$$\frac{x}{x+1} \div \frac{2}{x}$$

fica

$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2(x+1)}$$

com as restrições $x \ne -1$ e $x \ne 0$. Aqui, $x \ne 0$ importa por dois motivos: mantém o denominador de $\frac{2}{x}$ diferente de zero e impede que o divisor fique indefinido.

Erros Comuns com Frações Algébricas

Cancelar termos em vez de fatores

Você pode cancelar $(x-1)$ em

$$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}$$

mas não o $x$ em

$$\frac{x+2}{x}$$

porque $x+2$ é uma soma, não um único fator.

Esquecer os valores excluídos

Depois de simplificar, os alunos muitas vezes mantêm apenas a nova restrição do denominador. Isso faz perder informação. As restrições vêm da expressão original, não apenas da forma simplificada.

Somar com denominadores diferentes cedo demais

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

não é

$$\frac{2}{2x+1}$$

Você precisa de um denominador comum antes de somar os numeradores.

Quando as Frações Algébricas São Usadas

Frações algébricas aparecem em toda a álgebra porque muitas fórmulas são razões entre expressões. Você encontra esse tema ao simplificar expressões racionais, resolver equações, trabalhar com taxas e estudar funções racionais.

Mesmo quando o assunto seguinte é mais difícil, os hábitos centrais continuam os mesmos: observe o denominador, fatore cedo e cancele apenas fatores completos.

Tente um Problema Parecido

Tente simplificar

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+2x}$$

primeiro. Depois, some o resultado com $\frac{1}{x}$. Se quiser mais uma verificação rápida da mesma ideia, crie sua própria versão com fatores diferentes e veja se os valores excluídos mudam depois da simplificação.