Dao động điều hòa đơn giản

Dao động điều hòa đơn giản, hay SHM, xảy ra khi một vật bị kéo trở về vị trí cân bằng bởi một lực phục hồi tỉ lệ với độ dời của nó. Đó là điều kiện xác định. Với một hệ tuyến tính lý tưởng như vật gắn với lò xo, điều này tạo ra chuyển động hình sin với chu kỳ không đổi.

Với một vật gắn vào lò xo lý tưởng, lực phục hồi là

$$F = -kx$$

Dấu trừ cho biết lực hướng ngược với độ dời $x$. Dùng định luật II Newton, $F = ma$, ta được

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

hoặc

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

Đó là mô hình SHM tiêu chuẩn cho hệ vật–lò xo.

Điều gì làm cho chuyển động trở thành dao động điều hòa

Không phải mọi chuyển động qua lại đều là SHM. Để gọi một chuyển động là SHM, tất cả các điều sau phải đúng:

• chuyển động diễn ra quanh một vị trí cân bằng
• lực phục hồi hướng về vị trí cân bằng
• lực phục hồi tỉ lệ với độ dời, ít nhất trong khoảng mà bạn đang mô hình hóa

Nếu một trong các điều kiện đó không đúng, chuyển động vẫn có thể dao động, nhưng không phải là SHM theo nghĩa chặt chẽ.

Các công thức chính của dao động điều hòa

Với mô hình vật–lò xo, tần số góc là

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Khi đó chu kỳ và tần số thường là

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

Độ dời thường được viết là

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

trong đó $A$ là biên độ và $\phi$ là hằng số pha. Dạng sin hay cos cụ thể phụ thuộc vào điều kiện ban đầu.

Vì sao SHM lặp lại

Khi vật ở xa vị trí cân bằng, lực phục hồi lớn hơn nên gia tốc kéo vật trở về tâm cũng lớn hơn. Khi vật chuyển động vào trong, lực nhỏ dần, nhưng tốc độ lại tăng vì vật đã được gia tốc hướng về tâm từ trước.

Sau khi đi qua vị trí cân bằng, lực đổi chiều và làm vật chậm dần cho đến khi nó dừng lại ở phía bên kia. Sau đó quá trình tương tự lặp lại. Đó là lý do SHM tiếp tục tuần hoàn giữa hai vị trí biên.

Ví dụ giải sẵn: chu kỳ của hệ vật–lò xo

Giả sử một vật có khối lượng $0.50\ \mathrm{kg}$ được gắn vào một lò xo lý tưởng có độ cứng $k = 200\ \mathrm{N/m}$. Hãy tìm tần số góc và chu kỳ.

Trước hết tính tần số góc:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Bây giờ tính chu kỳ:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Vậy hệ này hoàn thành một dao động toàn phần sau mỗi $0.314$ giây.

Ví dụ này cho thấy yếu tố nào quyết định thời gian dao động. Lò xo cứng hơn làm dao động nhanh hơn, còn khối lượng lớn hơn làm dao động chậm hơn.

Những lỗi thường gặp trong SHM

• Gọi mọi dao động là SHM. Chỉ dao động thôi là chưa đủ; lực phục hồi phải tỉ lệ với độ dời.
• Quên dấu trừ trong $F = -kx$. Nếu thiếu dấu này, lực sẽ hướng ra xa vị trí cân bằng thay vì hướng về nó.
• Nhầm lẫn giữa biên độ và chu kỳ. Biên độ cho biết vật đi xa vị trí cân bằng đến mức nào. Chu kỳ cho biết một vòng dao động mất bao lâu.
• Cho rằng con lắc luôn là SHM. Con lắc đơn chỉ xấp xỉ SHM khi góc lệch nhỏ.

Dao động điều hòa được dùng ở đâu

SHM là mô hình khởi đầu tiêu chuẩn cho lò xo, phân tử dao động, mạch dao động điện và các dao động nhỏ quanh trạng thái cân bằng bền. Nó cũng là một phép gần đúng hữu ích khi một hệ phức tạp hơn cư xử gần tuyến tính quanh điểm cân bằng của nó.

Điều kiện đó rất quan trọng. Các hệ thực thường có lực cản, lực kích thích hoặc hiệu ứng phi tuyến, nên chuyển động sẽ không còn là SHM lý tưởng khi những hiệu ứng đó trở nên đáng kể.

Thử một bài SHM tương tự

Hãy đổi ví dụ thành một vật $1.0\ \mathrm{kg}$ gắn vào cùng lò xo $200\ \mathrm{N/m}$ rồi tính lại $T$. Chỉ một thay đổi đó cũng đủ cho thấy chu kỳ phụ thuộc vào khối lượng như thế nào.

Nếu sau đó bạn muốn khảo sát thêm một trường hợp khác, hãy so sánh SHM với định luật II Newton. SHM là một trong những ví dụ rõ ràng nhất về cách một định luật lực tạo ra một kiểu chuyển động cụ thể.