Gerak Harmonik Sederhana

Gerak harmonik sederhana, atau GHS, terjadi ketika sebuah benda ditarik kembali menuju titik setimbang oleh gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya. Itulah syarat yang mendefinisikannya. Untuk sistem linear ideal seperti massa pada pegas, kondisi ini menghasilkan gerak sinusoidal dengan periode yang konstan.

Untuk massa pada pegas ideal, gaya pemulihnya adalah

$$F = -kx$$

Tanda minus berarti gaya arahnya berlawanan dengan simpangan $x$. Dengan menggunakan hukum kedua Newton, $F = ma$, diperoleh

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

atau

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

Itulah model standar GHS untuk sistem massa-pegas.

Apa yang membuat suatu gerak menjadi harmonik sederhana

Tidak semua gerak bolak-balik adalah GHS. Agar suatu gerak dapat disebut GHS, semua hal berikut harus benar:

• gerak terjadi di sekitar posisi setimbang
• gaya pemulih mengarah ke titik setimbang
• gaya pemulih sebanding dengan simpangan, setidaknya pada rentang yang sedang dimodelkan

Jika salah satu syarat itu tidak terpenuhi, geraknya mungkin tetap berosilasi, tetapi bukan GHS dalam arti yang ketat.

Rumus-rumus utama gerak harmonik sederhana

Untuk model massa-pegas, frekuensi sudutnya adalah

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Periode dan frekuensi biasanya adalah

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

Simpangan sering ditulis sebagai

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

dengan $A$ sebagai amplitudo dan $\phi$ sebagai konstanta fase. Bentuk tepatnya, sinus atau cosinus, bergantung pada kondisi awal.

Mengapa GHS berulang

Ketika massa berada jauh dari titik setimbang, gaya pemulih lebih besar, sehingga percepatan kembali ke pusat juga lebih besar. Saat massa bergerak ke dalam, gaya menjadi lebih kecil, tetapi kecepatannya meningkat karena massa sudah dipercepat menuju pusat.

Setelah melewati titik setimbang, arah gaya berbalik dan memperlambat massa sampai berhenti di sisi lainnya. Lalu proses yang sama terulang. Itulah sebabnya GHS terus berulang antara dua titik balik.

Contoh soal: periode sistem massa-pegas

Misalkan sebuah massa $0.50\ \mathrm{kg}$ dipasang pada pegas ideal dengan konstanta pegas $k = 200\ \mathrm{N/m}$. Tentukan frekuensi sudut dan periodenya.

Pertama, hitung frekuensi sudut:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Sekarang hitung periodenya:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Jadi sistem ini menyelesaikan satu osilasi penuh setiap $0.314$ detik.

Contoh ini menunjukkan apa yang menentukan waktu osilasi. Pegas yang lebih kaku membuat osilasi lebih cepat, sedangkan massa yang lebih besar membuatnya lebih lambat.

Kesalahan umum dalam GHS

• Menyebut setiap osilasi sebagai GHS. Osilasi saja tidak cukup; gaya pemulih harus sebanding dengan simpangan.
• Lupa tanda minus pada $F = -kx$. Tanpa tanda itu, gaya akan mengarah menjauhi titik setimbang, bukan menuju ke sana.
• Tertukar antara amplitudo dan periode. Amplitudo menunjukkan seberapa jauh benda bergerak dari titik setimbang. Periode menunjukkan berapa lama satu siklus berlangsung.
• Menganggap bandul selalu merupakan GHS. Bandul sederhana hanya mendekati GHS untuk simpangan sudut kecil.

Di mana gerak harmonik sederhana digunakan

GHS adalah model awal standar untuk pegas, molekul yang bergetar, osilator listrik, dan osilasi kecil di sekitar titik setimbang stabil. GHS juga merupakan pendekatan yang berguna ketika sistem yang lebih rumit berperilaku linear di dekat titik setimbangnya.

Syarat itu penting. Sistem nyata sering melibatkan redaman, gaya pendorong, atau efek nonlinier, sehingga geraknya tidak lagi menjadi GHS ideal ketika efek-efek tersebut mulai signifikan.

Coba soal GHS serupa

Ubah contoh tadi menjadi massa $1.0\ \mathrm{kg}$ pada pegas yang sama, $200\ \mathrm{N/m}$, lalu hitung kembali $T$. Satu perubahan itu akan memperjelas bagaimana periode bergantung pada massa.

Jika setelah itu Anda ingin membahas kasus lain, bandingkan GHS dengan hukum kedua Newton. GHS adalah salah satu contoh paling jelas tentang bagaimana hukum gaya menghasilkan jenis gerak tertentu.