Mouvement harmonique simple

Le mouvement harmonique simple, ou MHS, se produit lorsqu’un objet est ramené vers sa position d’équilibre par une force de rappel proportionnelle à son déplacement. C’est la condition qui le définit. Pour un système linéaire idéal, comme une masse attachée à un ressort, cela donne un mouvement sinusoïdal de période constante.

Pour une masse sur un ressort idéal, la force de rappel est

$$F = -kx$$

Le signe moins signifie que la force est dirigée dans le sens opposé au déplacement $x$. En utilisant la deuxième loi de Newton, $F = ma$, on obtient

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

ou

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

C’est le modèle standard du MHS pour un système masse-ressort.

Ce qui rend un mouvement harmonique simple

Tout mouvement de va-et-vient n’est pas forcément un MHS. Pour qu’un mouvement soit qualifié de MHS, toutes les conditions suivantes doivent être vraies :

• le mouvement se fait autour d’une position d’équilibre
• la force de rappel est dirigée vers l’équilibre
• la force de rappel est proportionnelle au déplacement, au moins sur l’intervalle que vous modélisez

Si l’une de ces conditions n’est pas respectée, le mouvement peut encore être oscillatoire, mais ce n’est pas un MHS au sens strict.

Formules clés du mouvement harmonique simple

Pour le modèle masse-ressort, la pulsation est

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

La période et la fréquence ordinaire sont alors

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

Le déplacement s’écrit souvent sous la forme

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

où $A$ est l’amplitude et $\phi$ la constante de phase. La forme exacte en sinus ou en cosinus dépend des conditions initiales.

Pourquoi le MHS se répète

Quand la masse est loin de l’équilibre, la force de rappel est plus grande, donc l’accélération vers le centre est plus grande aussi. À mesure que la masse se rapproche, la force diminue, mais la vitesse augmente parce que la masse a déjà été accélérée vers le centre.

Après le passage par l’équilibre, la force change de sens et ralentit la masse jusqu’à ce qu’elle s’arrête de l’autre côté. Puis le même processus recommence. C’est pourquoi le MHS oscille en continu entre deux points extrêmes.

Exemple résolu : période d’un système masse-ressort

Supposons qu’une masse de $0.50\ \mathrm{kg}$ soit attachée à un ressort idéal de constante de raideur $k = 200\ \mathrm{N/m}$. Déterminez la pulsation et la période.

Calculons d’abord la pulsation :

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Calculons maintenant la période :

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Ce système effectue donc une oscillation complète toutes les $0.314$ secondes.

Cet exemple montre ce qui contrôle la durée du mouvement. Un ressort plus raide rend l’oscillation plus rapide, tandis qu’une masse plus grande la rend plus lente.

Erreurs fréquentes en MHS

• Appeler MHS n’importe quelle oscillation. Le simple fait d’osciller ne suffit pas ; la force de rappel doit être proportionnelle au déplacement.
• Oublier le signe moins dans $F = -kx$. Sans lui, la force serait dirigée à l’opposé de l’équilibre au lieu d’y ramener l’objet.
• Confondre amplitude et période. L’amplitude indique à quelle distance l’objet s’éloigne de l’équilibre. La période indique combien de temps dure un cycle.
• Supposer qu’un pendule est toujours en MHS. Un pendule simple n’est approximativement en MHS que pour de petites amplitudes angulaires.

Où le mouvement harmonique simple est utilisé

Le MHS est le modèle de départ standard pour les ressorts, les molécules en vibration, les oscillateurs électriques et les petites oscillations autour d’un équilibre stable. C’est aussi une approximation utile lorsqu’un système plus complexe se comporte de manière linéaire près de son point d’équilibre.

Cette condition est importante. Les systèmes réels incluent souvent un amortissement, des forces extérieures ou des effets non linéaires, donc le mouvement cesse d’être un MHS idéal dès que ces effets deviennent importants.

Essayez un problème de MHS similaire

Modifiez l’exemple en prenant une masse de $1.0\ \mathrm{kg}$ sur le même ressort de $200\ \mathrm{N/m}$ et calculez à nouveau $T$. Ce seul changement montre clairement comment la période dépend de la masse.

Si vous voulez étudier un autre cas ensuite, comparez le MHS avec la deuxième loi de Newton. Le MHS est l’un des exemples les plus nets de la manière dont une loi de force produit un type de mouvement précis.