Con lắc đơn — Chu kỳ, tần số và dao động điều hòa

Con lắc là một vật nặng dao động quanh một điểm treo dưới tác dụng của trọng lực. Nếu bạn đang cần tìm chu kỳ hoặc tần số của con lắc, kết quả quan trọng là: với con lắc đơn dao động qua một góc nhỏ, chu kỳ là

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

và tần số là

$$f = \frac{1}{T}$$

Ở đây $L$ là chiều dài từ điểm treo đến tâm khối lượng của vật nặng, còn $g$ là gia tốc trọng trường. Công thức này áp dụng cho mô hình con lắc đơn ở góc nhỏ, nên điều kiện này rất quan trọng.

Con lắc đơn trong vật lý là gì

Trong mô hình chuẩn, con lắc đơn gồm một vật nặng coi như chất điểm, một sợi dây hoặc thanh nhẹ, và một điểm treo cố định. Lực cản không khí và ma sát đủ nhỏ để có thể bỏ qua trong khoảng thời gian bạn đang xét.

Sự lý tưởng hóa này quan trọng vì con lắc thực tế bị mất năng lượng và có thể lệch khỏi công thức đơn giản. Dù vậy, mô hình này vẫn hữu ích vì dự đoán khá tốt thời gian của nhiều dao động nhỏ.

Khi nào con lắc là dao động điều hòa

Con lắc không phải lúc nào cũng là dao động điều hòa đúng hoàn toàn ở mọi góc. Nó chỉ gần đúng là dao động điều hòa khi li độ góc $\theta$ đủ nhỏ để

$$\sin \theta \approx \theta$$

với $\theta$ được đo bằng radian.

Trong điều kiện đó, phương trình chuyển động trở thành

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

đây là dạng chuẩn của dao động điều hòa. Vì thế, con lắc chỉ có thể được xem là dao động điều hòa như một phép gần đúng đối với các dao động nhỏ.

Công thức chu kỳ và tần số của con lắc

Với con lắc đơn trong giới hạn góc nhỏ,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

và

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

Chu kỳ là thời gian để hoàn thành một dao động toàn phần. Tần số là số dao động thực hiện trong một giây.

Hai kết luận nhanh:

• Con lắc càng dài thì chu kỳ càng lớn, nên dao động càng chậm.
• Giá trị $g$ tại nơi xét càng lớn thì chu kỳ càng nhỏ, nên dao động càng nhanh.

Trong mô hình góc nhỏ lý tưởng, chu kỳ không phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng.

Ví dụ có lời giải: chu kỳ và tần số của con lắc dài 1 m

Giả sử một con lắc đơn có chiều dài $L = 1.00\ \mathrm{m}$ và ta dùng $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$. Giả sử góc dao động là nhỏ.

Bắt đầu với công thức chu kỳ:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Thay các giá trị vào:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}$$ $$T \approx 2\pi\sqrt{0.102}$$ $$T \approx 2.01\ \mathrm{s}$$

Vậy một dao động toàn phần mất khoảng $2.01$ giây.

Bây giờ tính tần số:

$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}$$

Vậy con lắc thực hiện khoảng nửa dao động mỗi giây. Đây là một giá trị mốc hữu ích: một con lắc dài $1\ \mathrm{m}$ gần bề mặt Trái Đất mất khoảng $2$ giây cho mỗi chu kỳ.

Những lỗi thường gặp với con lắc

Dùng công thức cho dao động góc lớn

Công thức chu kỳ chuẩn chỉ chính xác khi phép gần đúng góc nhỏ còn đúng. Nếu biên độ góc lớn, chu kỳ thực tế sẽ dài hơn giá trị dự đoán bởi công thức góc nhỏ đơn giản.

Đo sai chiều dài

Với con lắc đơn, $L$ được đo từ điểm treo đến tâm khối lượng của vật nặng, không phải chỉ đến đỉnh của vật nặng hay chỉ đến đầu sợi dây.

Nhầm lẫn giữa chu kỳ và tần số

Chu kỳ là thời gian cho mỗi dao động. Tần số là số dao động trong một giây. Chúng là hai đại lượng nghịch đảo của nhau, nên chu kỳ lớn hơn thì tần số nhỏ hơn.

Cho rằng mọi dao động đều là dao động điều hòa

Chỉ chuyển động qua lại thôi là chưa đủ. Con lắc chỉ gần đúng như dao động điều hòa trong điều kiện góc nhỏ.

Mô hình con lắc được dùng ở đâu

Con lắc được dùng để giới thiệu về dao động, lực kéo về và các phương pháp gần đúng trong vật lý. Nó cũng xuất hiện trong lịch sử đo thời gian, trong máy đo địa chấn và trong các thí nghiệm trên lớp cho thấy chu kỳ phụ thuộc vào chiều dài như thế nào.

Con lắc đặc biệt hữu ích trong giảng dạy vì một hệ duy nhất kết nối nhiều ý tưởng cùng lúc: trọng lực, chuyển động tuần hoàn, li độ góc và dao động điều hòa như một phép gần đúng.

Thử giải một bài toán con lắc tương tự

Hãy đổi ví dụ thành $L = 0.25\ \mathrm{m}$ rồi tính chu kỳ và tần số mới. Chỉ một thay đổi đó cũng đủ cho thấy thời gian dao động phụ thuộc mạnh vào chiều dài như thế nào.

Nếu bạn muốn kiểm tra cách thiết lập sau khi tự làm, GPAI Solver có thể hướng dẫn lại cùng mô hình con lắc này từng bước với chính các số liệu của bạn.