Ruch harmoniczny prosty

Ruch harmoniczny prosty, czyli RHP, występuje wtedy, gdy obiekt jest przyciągany z powrotem do położenia równowagi przez siłę przywracającą proporcjonalną do jego wychylenia. To jest warunek definicyjny. W idealnym układzie liniowym, takim jak masa na sprężynie, prowadzi to do ruchu sinusoidalnego o stałym okresie.

Dla masy na idealnej sprężynie siła przywracająca ma postać

$$F = -kx$$

Znak minus oznacza, że siła jest skierowana przeciwnie do wychylenia $x$. Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona, $F = ma$, otrzymujemy

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

lub

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

To jest standardowy model RHP dla układu masa–sprężyna.

Co sprawia, że ruch jest harmoniczny prosty

Nie każdy ruch tam i z powrotem jest RHP. Aby nazwać ruch harmonicznym prostym, wszystkie poniższe warunki muszą być spełnione:

• ruch odbywa się wokół położenia równowagi
• siła przywracająca jest skierowana ku równowadze
• siła przywracająca jest proporcjonalna do wychylenia, przynajmniej w zakresie, który modelujesz

Jeśli jeden z tych warunków nie jest spełniony, ruch może nadal być drgający, ale w ścisłym sensie nie jest to RHP.

Najważniejsze wzory ruchu harmonicznego prostego

Dla modelu masa–sprężyna częstość kątowa wynosi

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Okres i zwykła częstotliwość wynoszą wtedy

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

Wychylenie często zapisuje się jako

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

gdzie $A$ to amplituda, a $\phi$ to stała fazowa. Dokładna postać z sinusem lub cosinusem zależy od warunków początkowych.

Dlaczego RHP się powtarza

Gdy masa znajduje się daleko od położenia równowagi, siła przywracająca jest większa, więc większe jest też przyspieszenie skierowane z powrotem ku środkowi. Gdy masa porusza się do wewnątrz, siła maleje, ale prędkość rośnie, ponieważ masa została już rozpędzona w stronę środka.

Po przejściu przez położenie równowagi siła zmienia zwrot i zaczyna wyhamowywać masę, aż ta zatrzyma się po drugiej stronie. Następnie ten sam proces się powtarza. Dlatego RHP stale przebiega między dwoma punktami zwrotnymi.

Przykład obliczeniowy: okres układu masa–sprężyna

Załóżmy, że masa $0.50\ \mathrm{kg}$ jest przymocowana do idealnej sprężyny o stałej sprężystości $k = 200\ \mathrm{N/m}$. Wyznacz częstość kątową i okres.

Najpierw obliczamy częstość kątową:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Teraz obliczamy okres:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Zatem ten układ wykonuje jedno pełne drganie co $0.314$ sekundy.

Ten przykład pokazuje, od czego zależy czas drgań. Sztywniejsza sprężyna powoduje szybsze drgania, a większa masa sprawia, że są one wolniejsze.

Typowe błędy w RHP

• Uznawanie każdego ruchu drgającego za RHP. Same drgania nie wystarczą; siła przywracająca musi być proporcjonalna do wychylenia.
• Pomijanie znaku minus w $F = -kx$. Bez niego siła byłaby skierowana od położenia równowagi, a nie ku niemu.
• Mylenie amplitudy z okresem. Amplituda mówi, jak daleko obiekt oddala się od równowagi. Okres mówi, jak długo trwa jeden cykl.
• Zakładanie, że wahadło zawsze wykonuje RHP. Wahadło proste jest tylko w przybliżeniu ruchem harmonicznym prostym dla małych wychyleń kątowych.

Gdzie wykorzystuje się ruch harmoniczny prosty

RHP jest standardowym modelem wyjściowym dla sprężyn, drgających cząsteczek, oscylatorów elektrycznych i małych drgań w pobliżu trwałej równowagi. Jest też użytecznym przybliżeniem wtedy, gdy bardziej złożony układ zachowuje się liniowo w pobliżu punktu równowagi.

Ten warunek ma znaczenie. Rzeczywiste układy często obejmują tłumienie, siły wymuszające lub efekty nieliniowe, więc ruch przestaje być idealnym RHP, gdy te efekty stają się istotne.

Spróbuj podobnego zadania z RHP

Zmień przykład na masę $1.0\ \mathrm{kg}$ na tej samej sprężynie $200\ \mathrm{N/m}$ i ponownie oblicz $T$. Ta jedna zmiana dobrze pokazuje, jak okres zależy od masy.

Jeśli potem chcesz przeanalizować inny przypadek, porównaj RHP z drugą zasadą dynamiki Newtona. RHP jest jednym z najczystszych przykładów tego, jak prawo siły tworzy określony rodzaj ruchu.