การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย หรือ SHM เกิดขึ้นเมื่อวัตถุถูกดึงกลับเข้าสู่ตำแหน่งสมดุลด้วยแรงคืนสภาพที่แปรผันตรงกับการกระจัด นี่คือเงื่อนไขที่ใช้บอกความเป็น SHM โดยตรง สำหรับระบบเชิงเส้นอุดมคติ เช่น มวลที่ติดกับสปริง การเคลื่อนที่จะเป็นแบบไซน์หรือโคไซน์และมีคาบคงที่

สำหรับมวลที่ติดกับสปริงอุดมคติ แรงคืนสภาพคือ

$$F = -kx$$

เครื่องหมายลบหมายความว่าแรงมีทิศตรงข้ามกับการกระจัด $x$ เมื่อนำกฎข้อที่สองของนิวตัน $F = ma$ มาใช้ จะได้

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

หรือ

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

นี่คือแบบจำลองมาตรฐานของ SHM สำหรับระบบมวล-สปริง

อะไรทำให้การเคลื่อนที่เป็นฮาร์มอนิกอย่างง่าย

การเคลื่อนที่ไป-กลับไม่ใช่ SHM ทุกแบบ ถ้าจะเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ต้องเป็นจริงครบทุกข้อดังนี้:

• การเคลื่อนที่เกิดรอบตำแหน่งสมดุล
• แรงคืนสภาพมีทิศชี้เข้าหาตำแหน่งสมดุล
• แรงคืนสภาพแปรผันตรงกับการกระจัด อย่างน้อยในช่วงที่คุณกำลังใช้แบบจำลอง

ถ้าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งไม่เป็นจริง การเคลื่อนที่อาจยังเป็นการสั่นได้ แต่ไม่ใช่ SHM ในความหมายที่เคร่งครัด

สูตรสำคัญของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

สำหรับแบบจำลองมวล-สปริง ความถี่เชิงมุมคือ

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

ดังนั้นคาบและความถี่ธรรมดาคือ

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

การกระจัดมักเขียนเป็น

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

โดยที่ $A$ คือแอมพลิจูด และ $\phi$ คือค่าคงที่เฟส รูปแบบที่เป็นไซน์หรือโคไซน์ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น

ทำไม SHM จึงเกิดซ้ำเป็นคาบ

เมื่อมวลอยู่ไกลจากตำแหน่งสมดุล แรงคืนสภาพจะมีค่ามากขึ้น ดังนั้นความเร่งที่ดึงกลับเข้าสู่จุดกึ่งกลางก็จะมากขึ้นด้วย เมื่อมวลเคลื่อนเข้าด้านใน แรงจะลดลง แต่ความเร็วเพิ่มขึ้นเพราะมวลถูกเร่งเข้าหาศูนย์กลางมาก่อนแล้ว

หลังจากผ่านตำแหน่งสมดุลไป แรงจะกลับทิศและทำให้มวลช้าลงจนหยุดที่อีกด้านหนึ่ง จากนั้นกระบวนการเดิมก็เกิดซ้ำอีก นี่จึงเป็นเหตุผลที่ SHM เคลื่อนที่วนไปมาระหว่างจุดกลับตัวสองจุด

ตัวอย่างโจทย์: คาบของระบบมวล-สปริง

สมมติว่ามีมวล $0.50\ \mathrm{kg}$ ติดกับสปริงอุดมคติที่มีค่าคงที่สปริง $k = 200\ \mathrm{N/m}$ จงหาความถี่เชิงมุมและคาบ

เริ่มจากหาความถี่เชิงมุม:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

จากนั้นหาคาบ:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

ดังนั้นระบบนี้จะสั่นครบหนึ่งรอบทุก ๆ $0.314$ วินาที

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าอะไรเป็นตัวกำหนดจังหวะการสั่น สปริงที่แข็งกว่าจะทำให้การสั่นเร็วขึ้น ส่วนมวลที่มากขึ้นจะทำให้การสั่นช้าลง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน SHM

• เรียกการสั่นทุกแบบว่าเป็น SHM การสั่นอย่างเดียวไม่พอ แรงคืนสภาพต้องแปรผันตรงกับการกระจัดด้วย
• ลืมเครื่องหมายลบใน $F = -kx$ ถ้าไม่มีเครื่องหมายนี้ แรงจะชี้ออกจากตำแหน่งสมดุลแทนที่จะชี้เข้าหา
• สับสนระหว่างแอมพลิจูดกับคาบ แอมพลิจูดบอกว่าวัตถุเคลื่อนที่ห่างจากสมดุลมากแค่ไหน ส่วนคาบบอกว่าใช้เวลานานเท่าไรต่อหนึ่งรอบ
• คิดว่าลูกตุ้มเป็น SHM เสมอ ลูกตุ้มอย่างง่ายจะประมาณเป็น SHM ได้เฉพาะเมื่อมุมเบี่ยงเบนมีค่าน้อย

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายถูกใช้ที่ไหน

SHM เป็นแบบจำลองตั้งต้นมาตรฐานสำหรับสปริง โมเลกุลที่สั่น วงจรออสซิลเลเตอร์ไฟฟ้า และการสั่นขนาดเล็กใกล้สมดุลเสถียร นอกจากนี้ยังเป็นการประมาณที่มีประโยชน์เมื่อระบบที่ซับซ้อนกว่ามีพฤติกรรมเชิงเส้นใกล้จุดสมดุล

เงื่อนไขนี้สำคัญมาก เพราะระบบจริงมักมีแรงหน่วง แรงขับ หรือผลไม่เชิงเส้นรวมอยู่ด้วย ดังนั้นการเคลื่อนที่จึงหยุดเป็น SHM อุดมคติเมื่อผลเหล่านี้เริ่มมีความสำคัญ

ลองทำโจทย์ SHM ที่คล้ายกัน

เปลี่ยนตัวอย่างเป็นมวล $1.0\ \mathrm{kg}$ บนสปริงตัวเดิมที่มีค่า $200\ \mathrm{N/m}$ แล้วหาค่า $T$ อีกครั้ง การเปลี่ยนเพียงอย่างเดียวนี้จะช่วยให้เห็นชัดว่าคาบขึ้นอยู่กับมวลอย่างไร

ถ้าต้องการลองอีกกรณีหลังจากนั้น ให้เปรียบเทียบ SHM กับ กฎข้อที่สองของนิวตัน SHM เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ชัดที่สุดว่ากฎของแรงสร้างรูปแบบการเคลื่อนที่เฉพาะแบบได้อย่างไร