Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple, o MAS, ocurre cuando un objeto es atraído de vuelta al equilibrio por una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento. Esa es la condición que lo define. En un sistema lineal ideal, como una masa unida a un resorte, esto produce un movimiento sinusoidal con período constante.

Para una masa en un resorte ideal, la fuerza restauradora es

$$F = -kx$$

El signo menos significa que la fuerza apunta en sentido opuesto al desplazamiento $x$. Usando la segunda ley de Newton, $F = ma$, se obtiene

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

o

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

Ese es el modelo estándar de MAS para un sistema masa-resorte.

Qué hace que un movimiento sea armónico simple

No todo movimiento de ida y vuelta es MAS. Para llamar MAS a un movimiento, todo esto debe cumplirse:

• el movimiento ocurre alrededor de una posición de equilibrio
• la fuerza restauradora apunta hacia el equilibrio
• la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento, al menos en el rango que estás modelando

Si una de esas condiciones falla, el movimiento puede seguir siendo oscilatorio, pero no es MAS en sentido estricto.

Fórmulas clave del movimiento armónico simple

Para el modelo masa-resorte, la frecuencia angular es

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

El período y la frecuencia ordinaria son entonces

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

El desplazamiento suele escribirse como

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

donde $A$ es la amplitud y $\phi$ es la constante de fase. La forma exacta con seno o coseno depende de las condiciones iniciales.

Por qué el MAS se repite

Cuando la masa está lejos del equilibrio, la fuerza restauradora es mayor, así que la aceleración de regreso hacia el centro también es mayor. A medida que la masa se mueve hacia adentro, la fuerza disminuye, pero la rapidez aumenta porque la masa ya fue acelerada hacia el centro.

Después de pasar por el equilibrio, la fuerza invierte su dirección y frena la masa hasta que se detiene en el otro lado. Luego el mismo proceso se repite. Por eso el MAS sigue oscilando entre dos puntos de retorno.

Ejemplo resuelto: período de un sistema masa-resorte

Supón que una masa de $0.50\ \mathrm{kg}$ está unida a un resorte ideal con constante elástica $k = 200\ \mathrm{N/m}$. Encuentra la frecuencia angular y el período.

Primero calcula la frecuencia angular:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Ahora calcula el período:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Así, este sistema completa una oscilación completa cada $0.314$ segundos.

Este ejemplo muestra qué controla el tiempo de oscilación. Un resorte más rígido hace que la oscilación sea más rápida, mientras que una masa mayor la hace más lenta.

Errores comunes en MAS

• Llamar MAS a cualquier oscilación. Oscilar por sí solo no basta; la fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento.
• Olvidar el signo menos en $F = -kx$. Sin él, la fuerza apuntaría alejándose del equilibrio en lugar de hacia él.
• Confundir amplitud y período. La amplitud indica qué tan lejos se mueve el objeto del equilibrio. El período indica cuánto tarda un ciclo.
• Suponer que un péndulo siempre es MAS. Un péndulo simple solo es aproximadamente MAS para desplazamientos angulares pequeños.

Dónde se usa el movimiento armónico simple

El MAS es el modelo inicial estándar para resortes, moléculas vibrantes, osciladores eléctricos y pequeñas oscilaciones cerca del equilibrio estable. También es una aproximación útil cuando un sistema más complicado se comporta linealmente cerca de su punto de equilibrio.

Esa condición importa. Los sistemas reales suelen incluir amortiguamiento, fuerzas externas o efectos no lineales, así que el movimiento deja de ser un MAS ideal cuando esos efectos se vuelven importantes.

Prueba un problema similar de MAS

Cambia el ejemplo a una masa de $1.0\ \mathrm{kg}$ en el mismo resorte de $200\ \mathrm{N/m}$ y vuelve a calcular $T$. Ese único cambio deja claro cómo depende el período de la masa.

Si después quieres explorar otro caso, compara el MAS con la segunda ley de Newton. El MAS es uno de los ejemplos más claros de cómo una ley de fuerza produce un tipo específico de movimiento.