Basit Harmonik Hareket

Basit harmonik hareket ya da BHH, bir cisim denge konumuna doğru, yer değiştirmesiyle orantılı bir geri çağırıcı kuvvet tarafından çekildiğinde ortaya çıkar. Bu, tanımlayıcı koşuldur. Yay üzerindeki bir kütle gibi ideal doğrusal bir sistemde bu durum, sabit periyotlu sinüzoidal harekete yol açar.

İdeal bir yaya bağlı bir kütle için geri çağırıcı kuvvet

$$F = -kx$$

şeklindedir. Eksi işareti, kuvvetin yer değiştirme $x$'in ters yönünü gösterdiği anlamına gelir. Newton'un ikinci yasası olan $F = ma$ kullanılırsa

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

veya

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

elde edilir.

Bu, kütle-yay sistemi için standart BHH modelidir.

Hareketi basit harmonik yapan nedir

Her ileri geri hareket BHH değildir. Bir harekete BHH diyebilmek için şu koşulların hepsi sağlanmalıdır:

• hareket bir denge konumu etrafında olmalıdır
• geri çağırıcı kuvvet dengeye doğru yönelmelidir
• geri çağırıcı kuvvet, en azından modellediğiniz aralıkta, yer değiştirme ile orantılı olmalıdır

Bu koşullardan biri sağlanmazsa hareket yine salınım yapabilir, ancak sıkı anlamda BHH değildir.

Temel basit harmonik hareket formülleri

Kütle-yay modeli için açısal frekans

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

şeklindedir.

Buna göre periyot ve sıradan frekans

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

olur.

Yer değiştirme çoğu zaman

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

şeklinde yazılır. Burada $A$ genlik, $\phi$ ise faz sabitidir. Tam olarak sinüs mü yoksa kosinüs mü kullanılacağı başlangıç koşullarına bağlıdır.

BHH neden tekrar eder

Kütle dengeden ne kadar uzaktaysa geri çağırıcı kuvvet o kadar büyük olur. Bu yüzden merkeze doğru ivme de daha büyük olur. Kütle içeri doğru hareket ettikçe kuvvet küçülür, ancak kütle zaten merkeze doğru ivmelendirildiği için hızı artar.

Denge konumunu geçtikten sonra kuvvet yön değiştirir ve kütleyi yavaşlatarak diğer tarafta durdurur. Sonra aynı süreç tekrar başlar. BHH'nin iki dönüm noktası arasında sürekli döngü yapmasının nedeni budur.

Çözümlü örnek: bir yay-kütle sisteminin periyodu

$0.50\ \mathrm{kg}$ kütleli bir cismin, yay sabiti $k = 200\ \mathrm{N/m}$ olan ideal bir yaya bağlı olduğunu düşünün. Açısal frekansı ve periyodu bulun.

Önce açısal frekansı hesaplayın:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Şimdi periyodu hesaplayın:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Buna göre bu sistem her $0.314$ saniyede bir tam salınım yapar.

Bu örnek, zamanlamayı neyin belirlediğini gösterir. Daha sert bir yay salınımı hızlandırırken, daha büyük bir kütle salınımı yavaşlatır.

BHH'de yaygın hatalar

• Her salınıma BHH demek. Sadece salınım olması yeterli değildir; geri çağırıcı kuvvet yer değiştirme ile orantılı olmalıdır.
• $F = -kx$ ifadesindeki eksi işaretini unutmak. Bu işaret olmazsa kuvvet dengeye doğru değil, dengeden uzağa doğru yönelirdi.
• Genlik ile periyodu karıştırmak. Genlik, cismin dengeden ne kadar uzaklaştığını söyler. Periyot ise bir çevrimin ne kadar sürdüğünü söyler.
• Sarkacın her zaman BHH yaptığını sanmak. Basit sarkaç, yalnızca küçük açısal sapmalar için yaklaşık olarak BHH'dir.

Basit harmonik hareket nerelerde kullanılır

BHH; yaylar, titreşen moleküller, elektriksel osilatörler ve kararlı denge çevresindeki küçük salınımlar için standart başlangıç modelidir. Daha karmaşık bir sistem denge noktası yakınında doğrusal davranıyorsa, BHH yararlı bir yaklaşım da sağlar.

Bu koşul önemlidir. Gerçek sistemlerde çoğu zaman sönüm, dış zorlayıcı kuvvetler veya doğrusal olmayan etkiler bulunur. Bu etkiler önemli hâle geldiğinde hareket ideal BHH olmaktan çıkar.

Benzer bir BHH sorusu deneyin

Örneği, aynı $200\ \mathrm{N/m}$ yay üzerindeki $1.0\ \mathrm{kg}$ kütle için değiştirin ve $T$ değerini yeniden bulun. Bu tek değişiklik, periyodun kütleye nasıl bağlı olduğunu açıkça gösterir.

Bundan sonra başka bir durumu incelemek isterseniz, BHH'yi Newton's second law ile karşılaştırın. BHH, bir kuvvet yasasının belirli bir hareket türünü nasıl oluşturduğunun en temiz örneklerinden biridir.