단순 조화 운동

단순 조화 운동(Simple Harmonic Motion, SHM)은 물체가 평형 위치로부터 변위된 만큼에 비례하는 복원력에 의해 다시 평형으로 끌려갈 때 일어납니다. 이것이 단순 조화 운동을 정의하는 핵심 조건입니다. 용수철에 매단 질량처럼 이상적인 선형계에서는 이 조건 때문에 주기가 일정한 사인파 형태의 운동이 나타납니다.

이상적인 용수철에 연결된 질량에 대해 복원력은

$$F = -kx$$

입니다. 마이너스 부호는 힘의 방향이 변위 $x$와 반대임을 뜻합니다. 여기에 뉴턴의 제2법칙 $F = ma$를 적용하면

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

이고,

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

가 됩니다.

이 식이 질량-용수철 계에 대한 표준적인 단순 조화 운동 모델입니다.

무엇이 운동을 단순 조화 운동으로 만드는가

모든 왕복 운동이 단순 조화 운동인 것은 아닙니다. 어떤 운동을 SHM이라고 부르려면 다음 조건이 모두 성립해야 합니다.

• 운동이 평형 위치를 중심으로 일어난다
• 복원력의 방향이 평형 위치를 향한다
• 복원력이 변위에 비례한다. 적어도 모델링하는 범위에서는 그래야 한다

이 조건들 중 하나라도 성립하지 않으면 운동이 진동하더라도 엄밀한 의미의 SHM은 아닙니다.

단순 조화 운동의 핵심 공식

질량-용수철 모델에서 각진동수는

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

입니다.

그러면 주기와 일반적인 진동수는 각각

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

가 됩니다.

변위는 보통

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

처럼 씁니다. 여기서 $A$는 진폭, $\phi$는 위상 상수입니다. 정확히 사인을 쓸지 코사인을 쓸지는 초기 조건에 따라 달라집니다.

왜 SHM은 반복되는가

질량이 평형 위치에서 멀리 있을수록 복원력이 더 커지므로 중심으로 되돌아가는 가속도도 더 커집니다. 질량이 안쪽으로 움직일수록 힘은 작아지지만, 이미 중심 쪽으로 가속되었기 때문에 속력은 증가합니다.

평형 위치를 지나면 힘의 방향이 반대로 바뀌고, 질량은 반대편에서 멈출 때까지 감속합니다. 그다음 같은 과정이 다시 반복됩니다. 그래서 SHM은 두 전환점 사이를 계속 주기적으로 오가게 됩니다.

예제: 용수철-질량 계의 주기

질량이 $0.50\ \mathrm{kg}$이고, 용수철 상수가 $k = 200\ \mathrm{N/m}$인 이상적인 용수철에 연결되어 있다고 합시다. 각진동수와 주기를 구해 봅시다.

먼저 각진동수를 계산하면

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

입니다.

이제 주기를 계산하면

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

입니다.

따라서 이 계는 $0.314$초마다 한 번의 완전한 진동을 합니다.

이 예제는 무엇이 시간적 특성을 결정하는지 보여 줍니다. 용수철이 더 단단할수록 진동은 더 빨라지고, 질량이 더 클수록 더 느려집니다.

SHM에서 흔한 실수

• 모든 진동을 SHM이라고 부르는 것. 단순히 진동한다고 해서 충분하지 않으며, 복원력이 변위에 비례해야 합니다.
• $F = -kx$의 마이너스 부호를 빼먹는 것. 이 부호가 없으면 힘은 평형 쪽이 아니라 평형에서 멀어지는 방향이 됩니다.
• 진폭과 주기를 혼동하는 것. 진폭은 물체가 평형에서 얼마나 멀리 움직이는지를 나타내고, 주기는 한 주기에 걸리는 시간을 나타냅니다.
• 진자를 항상 SHM이라고 가정하는 것. 단진자는 각변위가 작을 때만 근사적으로 SHM입니다.

단순 조화 운동은 어디에 쓰이는가

SHM은 용수철, 분자의 진동, 전기적 진동자, 그리고 안정한 평형점 근처의 작은 진동을 다룰 때 가장 기본이 되는 모델입니다. 더 복잡한 계라도 평형점 근처에서 선형적으로 거동하면 SHM은 유용한 근사 모델이 됩니다.

이 조건은 중요합니다. 실제 계에는 감쇠, 외력에 의한 구동, 비선형 효과가 들어가는 경우가 많기 때문에, 이런 효과가 중요해지면 운동은 더 이상 이상적인 SHM이 아닙니다.

비슷한 SHM 문제를 직접 풀어 보기

앞의 예제를 같은 $200\ \mathrm{N/m}$ 용수철에 질량 $1.0\ \mathrm{kg}$을 매단 경우로 바꾸고, 다시 $T$를 구해 보세요. 이 한 가지 변화만으로도 주기가 질량에 어떻게 의존하는지 분명하게 알 수 있습니다.

그다음 다른 경우도 살펴보고 싶다면 뉴턴의 제2법칙과 SHM을 비교해 보세요. SHM은 힘의 법칙이 특정한 종류의 운동을 어떻게 만들어 내는지 보여 주는 가장 깔끔한 예 중 하나입니다.