Einfache harmonische Bewegung

Die einfache harmonische Bewegung, kurz SHM, liegt vor, wenn ein Objekt durch eine rücktreibende Kraft zur Gleichgewichtslage zurückgezogen wird, die proportional zu seiner Auslenkung ist. Das ist die definierende Bedingung. Für ein ideales lineares System wie eine Masse an einer Feder ergibt sich daraus eine sinusförmige Bewegung mit konstanter Periode.

Für eine Masse an einer idealen Feder gilt für die rücktreibende Kraft

$$F = -kx$$

Das Minuszeichen bedeutet, dass die Kraft der Auslenkung $x$ entgegengerichtet ist. Mit Newtons zweitem Gesetz, $F = ma$, folgt

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

oder

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

Das ist das Standardmodell der SHM für ein Masse-Feder-System.

Was eine Bewegung einfach harmonisch macht

Nicht jede Hin-und-her-Bewegung ist SHM. Damit man eine Bewegung als SHM bezeichnen kann, müssen alle folgenden Bedingungen erfüllt sein:

• die Bewegung erfolgt um eine Gleichgewichtslage
• die rücktreibende Kraft zeigt zur Gleichgewichtslage
• die rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung, zumindest in dem Bereich, den du modellierst

Wenn eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, kann die Bewegung zwar weiterhin schwingen, ist aber im strengen Sinn keine SHM.

Wichtige Formeln der einfachen harmonischen Bewegung

Für das Masse-Feder-Modell ist die Kreisfrequenz

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Periode und gewöhnliche Frequenz sind dann

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

Die Auslenkung wird oft geschrieben als

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

wobei $A$ die Amplitude und $\phi$ die Phasenkonstante ist. Ob man genau die Sinus- oder Kosinusform verwendet, hängt von den Anfangsbedingungen ab.

Warum sich SHM wiederholt

Wenn die Masse weit von der Gleichgewichtslage entfernt ist, ist die rücktreibende Kraft größer, also ist auch die Beschleunigung zurück zur Mitte größer. Wenn sich die Masse nach innen bewegt, wird die Kraft kleiner, aber die Geschwindigkeit nimmt zu, weil die Masse bereits zur Mitte hin beschleunigt wurde.

Nachdem sie die Gleichgewichtslage passiert hat, kehrt die Kraft ihre Richtung um und bremst die Masse ab, bis sie auf der anderen Seite zum Stillstand kommt. Dann wiederholt sich derselbe Prozess. Deshalb pendelt die SHM ständig zwischen zwei Umkehrpunkten.

Durchgerechnetes Beispiel: Periode eines Feder-Masse-Systems

Angenommen, eine Masse von $0.50\ \mathrm{kg}$ ist an einer idealen Feder mit der Federkonstante $k = 200\ \mathrm{N/m}$ befestigt. Bestimme die Kreisfrequenz und die Periode.

Berechne zuerst die Kreisfrequenz:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Berechne nun die Periode:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Dieses System führt also alle $0.314$ Sekunden eine vollständige Schwingung aus.

Dieses Beispiel zeigt, wovon die zeitliche Dauer abhängt. Eine steifere Feder macht die Schwingung schneller, während eine größere Masse sie langsamer macht.

Häufige Fehler bei SHM

• Jede Schwingung als SHM zu bezeichnen. Schwingung allein reicht nicht aus; die rücktreibende Kraft muss proportional zur Auslenkung sein.
• Das Minuszeichen in $F = -kx$ zu vergessen. Ohne dieses würde die Kraft von der Gleichgewichtslage weg statt zu ihr hin zeigen.
• Amplitude und Periode zu verwechseln. Die Amplitude gibt an, wie weit sich das Objekt von der Gleichgewichtslage entfernt. Die Periode gibt an, wie lange ein Zyklus dauert.
• Anzunehmen, ein Pendel sei immer SHM. Ein einfaches Pendel ist nur für kleine Winkelauslenkungen näherungsweise SHM.

Wo die einfache harmonische Bewegung verwendet wird

SHM ist das Standard-Ausgangsmodell für Federn, schwingende Moleküle, elektrische Oszillatoren und kleine Schwingungen um eine stabile Gleichgewichtslage. Sie ist auch eine nützliche Näherung, wenn sich ein komplizierteres System in der Nähe seines Gleichgewichtspunkts linear verhält.

Diese Bedingung ist wichtig. Reale Systeme enthalten oft Dämpfung, antreibende Kräfte oder nichtlineare Effekte, sodass die Bewegung keine ideale SHM mehr ist, sobald diese Effekte wichtig werden.

Probiere eine ähnliche SHM-Aufgabe

Ändere das Beispiel zu einer Masse von $1.0\ \mathrm{kg}$ an derselben Feder mit $200\ \mathrm{N/m}$ und berechne $T$ erneut. Diese eine Änderung macht klar, wie die Periode von der Masse abhängt.

Wenn du danach noch einen anderen Fall untersuchen willst, vergleiche SHM mit Newtons zweitem Gesetz. SHM ist eines der klarsten Beispiele dafür, wie ein Kraftgesetz eine bestimmte Art von Bewegung erzeugt.