Movimento Harmônico Simples

O movimento harmônico simples, ou MHS, acontece quando um objeto é puxado de volta para o equilíbrio por uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento. Essa é a condição que o define. Em um sistema linear ideal, como uma massa presa a uma mola, isso produz um movimento senoidal com período constante.

Para uma massa em uma mola ideal, a força restauradora é

$$F = -kx$$

O sinal de menos significa que a força aponta no sentido oposto ao deslocamento $x$. Usando a segunda lei de Newton, $F = ma$, temos

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

ou

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$$

Esse é o modelo padrão de MHS para um sistema massa-mola.

O que torna um movimento harmônico simples

Nem todo movimento de vai e vem é MHS. Para chamar um movimento de MHS, tudo isso deve ser verdadeiro:

• o movimento ocorre em torno de uma posição de equilíbrio
• a força restauradora aponta para o equilíbrio
• a força restauradora é proporcional ao deslocamento, pelo menos no intervalo que você está modelando

Se uma dessas condições falhar, o movimento ainda pode oscilar, mas não é MHS no sentido estrito.

Fórmulas principais do movimento harmônico simples

Para o modelo massa-mola, a frequência angular é

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

O período e a frequência comum são então

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ $$f = \frac{1}{T}$$

O deslocamento costuma ser escrito como

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

em que $A$ é a amplitude e $\phi$ é a constante de fase. A forma exata com seno ou cosseno depende das condições iniciais.

Por que o MHS se repete

Quando a massa está longe do equilíbrio, a força restauradora é maior, então a aceleração de volta para o centro também é maior. À medida que a massa se move para dentro, a força diminui, mas a velocidade aumenta porque a massa já foi acelerada em direção ao centro.

Depois que ela passa pelo equilíbrio, a força inverte o sentido e desacelera a massa até ela parar do outro lado. Então o mesmo processo se repete. É por isso que o MHS continua alternando entre dois pontos de retorno.

Exemplo resolvido: período de um sistema massa-mola

Suponha que uma massa de $0.50\ \mathrm{kg}$ esteja presa a uma mola ideal com constante elástica $k = 200\ \mathrm{N/m}$. Encontre a frequência angular e o período.

Primeiro, calcule a frequência angular:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Agora calcule o período:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Então esse sistema completa uma oscilação completa a cada $0.314$ segundos.

Este exemplo mostra o que controla o tempo da oscilação. Uma mola mais rígida faz a oscilação ser mais rápida, enquanto uma massa maior a torna mais lenta.

Erros comuns em MHS

• Chamar qualquer oscilação de MHS. Oscilar por si só não basta; a força restauradora deve ser proporcional ao deslocamento.
• Esquecer o sinal de menos em $F = -kx$. Sem ele, a força apontaria para longe do equilíbrio em vez de apontar para ele.
• Confundir amplitude com período. A amplitude diz o quão longe o objeto se move do equilíbrio. O período diz quanto tempo dura um ciclo.
• Supor que um pêndulo é sempre MHS. Um pêndulo simples só é aproximadamente MHS para pequenos deslocamentos angulares.

Onde o movimento harmônico simples é usado

O MHS é o modelo inicial padrão para molas, moléculas vibrando, osciladores elétricos e pequenas oscilações perto do equilíbrio estável. Ele também é uma aproximação útil quando um sistema mais complicado se comporta de forma linear perto do seu ponto de equilíbrio.

Essa condição importa. Sistemas reais muitas vezes incluem amortecimento, forças externas periódicas ou efeitos não lineares, então o movimento deixa de ser um MHS ideal quando esses efeitos se tornam importantes.

Tente um problema parecido de MHS

Mude o exemplo para uma massa de $1.0\ \mathrm{kg}$ na mesma mola de $200\ \mathrm{N/m}$ e calcule $T$ novamente. Essa única mudança deixa claro como o período depende da massa.

Se quiser explorar outro caso depois disso, compare o MHS com Newton's second law. O MHS é um dos exemplos mais claros de como uma lei de força cria um tipo específico de movimento.