Hệ đếm - Nhị phân, bát phân, thập lục phân

Nhị phân, bát phân và thập lục phân đều là các hệ đếm theo giá trị vị trí. Điểm khác nhau là cơ số. Nhị phân là cơ số $2$, bát phân là cơ số $8$, còn thập lục phân là cơ số $16$. Khi nắm được ý này, các ký hiệu sẽ không còn trông khó hiểu nữa.

Trong mọi hệ đếm theo vị trí, mỗi hàng là một lũy thừa của cơ số. Trong cơ số $10$, các hàng là $1$, $10$, $100$, v.v. Trong cơ số $2$, các hàng là $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, v.v. Quy tắc này đúng với mọi cơ số.

Mỗi Hệ Đếm Dùng Những Ký Hiệu Nào

Nhị phân chỉ dùng hai chữ số $0$ và $1$.

Bát phân dùng các chữ số từ $0$ đến $7$.

Thập lục phân dùng $16$ ký hiệu: từ $0$ đến $9$, rồi $A$ đến $F$ để biểu diễn các giá trị từ $10$ đến $15$.

Điều đó có nghĩa là một chữ số thập lục phân chứa được nhiều thông tin hơn một chữ số nhị phân, vì một hàng thập lục phân đếm theo lũy thừa của $16$, không phải lũy thừa của $2$.

Ý Tưởng Cốt Lõi

Một số không đổi giá trị chỉ vì bạn viết nó trong một cơ số khác. Chỉ cách biểu diễn là thay đổi.

Ví dụ, số $45$ trong cơ số $10$ vẫn là cùng một lượng dù bạn viết nó ở dạng nhị phân, bát phân hay thập lục phân. Các cơ số khác nhau giống như những ngôn ngữ khác nhau để diễn tả cùng một giá trị.

Một Ví Dụ Tiêu Biểu: Viết $45$ Ở Dạng Nhị Phân, Bát Phân Và Thập Lục Phân

Bắt đầu với cơ số $10$.

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Đó là các lũy thừa của $2$:

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

Vì vậy, dạng nhị phân có các chữ số $1$ ở các vị trí $2^5$, $2^3$, $2^2$ và $2^0$:

$$45_{10} = 101101_2$$

Bây giờ dùng dạng nhị phân để đổi sang bát phân. Vì $8 = 2^3$, hãy nhóm các chữ số nhị phân thành từng nhóm $3$ từ phải sang trái:

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

Mỗi nhóm trở thành một chữ số bát phân:

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

Vậy

$$45_{10} = 55_8$$

Tiếp theo là thập lục phân. Vì $16 = 2^4$, hãy nhóm các chữ số nhị phân thành từng nhóm $4$ từ phải sang trái. Nếu cần, thêm các số $0$ ở đầu:

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

Sau đó đổi từng nhóm:

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

Vậy

$$45_{10} = 2D_{16}$$

Cả ba cách viết đều biểu diễn cùng một giá trị:

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

Những Lỗi Thường Gặp

Một lỗi phổ biến là quên rằng cơ số làm thay đổi giá trị của từng vị trí. Chuỗi $101$ không có cùng ý nghĩa trong cơ số $2$, cơ số $8$ và cơ số $10$.

Một lỗi khác là dùng những chữ số mà cơ số đó không cho phép. Ví dụ, $2$ không thể xuất hiện trong một số nhị phân, và $8$ không thể xuất hiện trong một số bát phân.

Học sinh cũng thường nhóm sai các chữ số nhị phân khi đổi sang bát phân hoặc thập lục phân. Hãy nhóm từ bên phải, và thêm số $0$ ở đầu nếu cần để đủ một nhóm hoàn chỉnh.

Khi Nào Các Hệ Đếm Này Được Dùng

Nhị phân là ngôn ngữ cơ bản của các hệ thống số vì công tắc tự nhiên có hai trạng thái. Bát phân và thập lục phân là những cách viết gọn hơn cho các chuỗi nhị phân dài.

Bạn không cần học khoa học máy tính để hiểu ý tưởng toán học này. Các hệ đếm này vẫn rất quan trọng vì chúng rèn luyện quy tắc cốt lõi của mọi ký pháp theo vị trí: giá trị phụ thuộc vào cơ số và vị trí.

Hãy Thử Một Phép Đổi Tương Tự

Hãy thử đổi $58_{10}$ sang nhị phân, bát phân và thập lục phân. Trước hết, viết nó thành tổng các lũy thừa của $2$, rồi nhóm các chữ số nhị phân để tìm hai dạng còn lại.