Biểu đồ hộp — Tứ phân vị, IQR và cách vẽ

Biểu đồ hộp, còn gọi là box-and-whisker plot, cho biết một bộ dữ liệu tập trung ở đâu và phân tán như thế nào. Nó làm nổi bật trung vị, $50\%$ dữ liệu ở giữa và các giá trị gần hai đầu, nên bạn có thể nhìn nhanh hình dạng tổng quát của dữ liệu.

Các mốc chính là tứ phân vị thứ nhất $Q_1$, trung vị, tứ phân vị thứ ba $Q_3$, và khoảng tứ phân vị $IQR = Q_3 - Q_1$. Có một điều kiện quan trọng ngay từ đầu: tứ phân vị không được xác định theo một quy tắc chung duy nhất. Nếu lớp học, sách giáo khoa hoặc phần mềm của bạn dùng một cách tính tứ phân vị cụ thể, hãy dùng nhất quán cách đó từ đầu đến cuối.

Biểu Đồ Hộp Cho Thấy Gì Chỉ Trong Một Cái Nhìn

Hộp kéo dài từ $Q_1$ đến $Q_3$, nên nó chứa $50\%$ dữ liệu ở giữa. Đường thẳng bên trong hộp là trung vị.

Các râu cho biết dữ liệu kéo dài ra xa khỏi hộp đến mức nào. Trong một số biểu đồ hộp, chúng kéo đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Trong những biểu đồ khác, chúng dừng ở các giá trị xa nhất nhưng không bị xem là ngoại lệ. Bạn cần biết quy tắc đó trước khi quyết định các râu có ý nghĩa gì.

Tứ Phân Vị Và IQR Hoạt Động Như Thế Nào

Khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của nửa giữa dữ liệu:

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

$IQR$ lớn hơn nghĩa là nửa giữa dữ liệu phân tán rộng hơn. $IQR$ nhỏ hơn nghĩa là các giá trị trong phần này tập trung chặt hơn.

Cách Vẽ Biểu Đồ Hộp Từng Bước

Hãy dùng cùng một thứ tự mỗi lần:

1. Sắp xếp dữ liệu từ nhỏ đến lớn.
2. Tìm trung vị.
3. Tìm $Q_1$ và $Q_3$ theo quy ước tứ phân vị mà bạn được yêu cầu sử dụng.
4. Vẽ một trục số và đánh dấu $Q_1$, trung vị và $Q_3$.
5. Vẽ hộp từ $Q_1$ đến $Q_3$ và vẽ đường trung vị bên trong hộp.
6. Thêm các râu theo quy tắc mà lớp học hoặc phần mềm của bạn yêu cầu.

Ví Dụ Có Lời Giải: Tìm Tứ Phân Vị Cho Biểu Đồ Hộp

Bắt đầu với bộ dữ liệu đã được sắp xếp

$$2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18$$

Có $9$ giá trị, nên trung vị là giá trị thứ năm:

$$\text{median} = 8$$

Trong ví dụ này, dùng quy tắc thường gặp trên lớp là loại trung vị chung ra khi tìm nửa dưới và nửa trên.

Nửa dưới là

$$2,\ 4,\ 5,\ 7$$

nên

$$Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$$

Nửa trên là

$$9,\ 12,\ 15,\ 18$$

nên

$$Q_3 = \frac{12 + 15}{2} = 13.5$$

Bây giờ tính khoảng tứ phân vị:

$$IQR = 13.5 - 4.5 = 9$$

Như vậy ta có các mốc chính cho hộp:

$$Q_1 = 4.5,\quad \text{median} = 8,\quad Q_3 = 13.5$$

Nếu các râu kéo đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, chúng sẽ kéo đến $2$ và $18$. Vậy hộp trải từ $4.5$ đến $13.5$, đường trung vị nằm ở $8$, và toàn bộ biểu đồ kéo dài từ $2$ đến $18$.

Cách Đọc Nhanh Một Biểu Đồ Hộp

Hãy bắt đầu với trung vị để xác định tâm của dữ liệu.

Sau đó kiểm tra độ rộng của hộp. Hộp hẹp nghĩa là nửa giữa dữ liệu tập trung chặt. Hộp rộng nghĩa là phần này phân tán hơn.

Cuối cùng, so sánh các râu và vị trí của trung vị bên trong hộp. Nếu một bên dài hơn rõ rệt, phân phối có thể bị kéo giãn nhiều hơn về phía đó.

Những Lỗi Thường Gặp Với Biểu Đồ Hộp

Đừng bỏ qua bước sắp xếp. Nếu dữ liệu không theo thứ tự, trung vị và các tứ phân vị sẽ sai.

Đừng cho rằng mọi biểu đồ hộp đều dùng cùng một quy tắc tứ phân vị hoặc cùng một quy tắc vẽ râu. Hai biểu đồ đều đúng vẫn có thể trông khác nhau nếu chúng được dựng theo các quy ước khác nhau.

Đừng đọc hai mép hộp là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Thông thường chúng biểu thị $Q_1$ và $Q_3$.

Đừng cho rằng hộp rộng hơn nghĩa là “nhiều dữ liệu hơn” ở vùng đó. Nó có nghĩa là các giá trị ở đó phủ một khoảng rộng hơn trên trục số.

Khi Nào Biểu Đồ Hộp Hữu Ích

Biểu đồ hộp hữu ích khi bạn muốn có cái nhìn nhanh về tâm và độ phân tán mà không cần liệt kê mọi giá trị. Chúng đặc biệt hữu ích khi so sánh hai hoặc nhiều nhóm đặt cạnh nhau.

Chúng thường xuất hiện trong các lớp thống kê, báo cáo thí nghiệm và bất kỳ tình huống nào mà trung vị cùng nửa giữa dữ liệu quan trọng hơn một danh sách chi tiết của từng giá trị.

Hãy Tự Thử Một Phiên Bản Của Riêng Bạn

Hãy lấy một bộ dữ liệu ngắn đã được sắp xếp, tìm tóm tắt năm số và phác thảo biểu đồ hộp bằng tay. Sau đó so sánh với một công cụ vẽ đồ thị để kiểm tra xem quy tắc tứ phân vị và quy tắc vẽ râu của bạn có khớp với kết quả hay không.