Tích có hướng — Công thức, hướng và ứng dụng

Tích có hướng nhận hai vectơ trong không gian 3D và trả về một vectơ mới vuông góc với cả hai. Độ lớn của nó là

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

trong đó $\theta$ là góc giữa $a$ và $b$, và trong một hệ tọa độ thuận tay phải thì hướng của nó tuân theo quy tắc bàn tay phải.

Điều này cho ta ý chính một cách nhanh gọn. Các vectơ song song có $\sin\theta = 0$, nên tích có hướng của chúng là vectơ không. Các vectơ vuông góc có $\sin\theta = 1$, nên tích có hướng có độ lớn lớn nhất có thể với các độ dài vectơ đó.

Công Thức Tích Có Hướng Theo Tọa Độ

Nếu

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

thì

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

Kết quả là một vectơ, không phải một số vô hướng. Đây là một trong những khác biệt chính so với tích vô hướng.

Hướng Của Tích Có Hướng Và Quy Tắc Bàn Tay Phải

Tích có hướng chỉ theo phương vuông góc với mặt phẳng chứa $a$ và $b$. Trong hệ tọa độ thuận tay phải, hãy cuộn các ngón tay phải của bạn từ $a$ về phía $b$ theo góc nhỏ hơn. Ngón cái sẽ chỉ theo hướng của $a \times b$.

Thứ tự là quan trọng:

$$a \times b = -(b \times a)$$

Vì vậy, đổi chỗ hai vectơ sẽ làm đảo ngược hướng.

Ví Dụ Giải Sẵn: Tìm $a \times b$

Lấy

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

Dùng công thức theo thành phần,

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

nên

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

Ví dụ này hữu ích vì mọi thứ đều nhìn thấy ngay lập tức:

• Kết quả chỉ theo hướng $z$ dương, nên nó vuông góc với cả hai vectơ đầu vào.
• Độ lớn của nó là $6$.
• Chính độ lớn đó là diện tích của hình bình hành tạo bởi $a$ và $b$.

Bạn cũng có thể kiểm tra công thức độ lớn. Ở đây $|a| = 2$, $|b| = 3$, và góc là $90^\circ$, nên

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

Nếu bạn đảo thứ tự, thì

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

Độ lớn giữ nguyên, nhưng hướng bị đảo ngược.

Độ Lớn Của Tích Có Hướng Có Ý Nghĩa Gì

Đại lượng $|a \times b|$ cho diện tích của hình bình hành được chắn bởi $a$ và $b$. Nếu bạn muốn diện tích của tam giác tạo bởi cùng hai vectơ đó, hãy chia cho $2$.

Ý nghĩa hình học này giải thích vì sao tích có hướng bằng không với các vectơ song song: một hình bình hành không có bề rộng thì có diện tích bằng không.

Những Lỗi Thường Gặp Với Tích Có Hướng

Nhầm Với Tích Vô Hướng

Tích vô hướng cho ra một số vô hướng và dùng $\cos\theta$. Tích có hướng cho ra một vectơ và dùng $\sin\theta$ để tính độ lớn.

Quên Rằng Thứ Tự Quan Trọng

$a \times b$ và $b \times a$ không cùng hướng. Chúng là hai vectơ đối nhau.

Dùng Nó Ngoài Bối Cảnh 3D Thông Thường

Trong hầu hết các bối cảnh ở trường học và các môn kỹ thuật nhập môn, tích có hướng được định nghĩa cho hai vectơ 3D. Nếu bạn đang làm việc trong 2D, người ta thường chuyển sang cách hiểu diện tích vô hướng hoặc nhúng các vectơ vào 3D trước.

Tích Có Hướng Được Dùng Ở Đâu

Trong hình học, tích có hướng giúp tìm diện tích và vectơ pháp tuyến. Trong giải tích vectơ và đồ họa, nó được dùng để tạo ra một hướng vuông góc với một bề mặt hoặc mặt phẳng.

Trong vật lý, nó xuất hiện khi cả độ lớn lẫn hướng quay đều quan trọng. Một ví dụ tiêu chuẩn là mômen lực:

$$\tau = r \times F$$

Công thức đó nói rằng tác dụng làm quay phụ thuộc vào vectơ vị trí, lực và góc giữa chúng.

Thử Một Bài Tương Tự

Hãy thử

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

Tính $a \times b$, rồi kiểm tra độ lớn của nó với $|a||b|\sin\theta$. Sau đó, đảo thứ tự và xác nhận rằng đáp án mới chỉ theo hướng ngược lại.