Tích vô hướng — Công thức, ý nghĩa hình học và ví dụ

Tích vô hướng nhân hai vectơ cùng số chiều và cho ra một số. Trong tọa độ,

$$u = (u_1, u_2, \dots, u_n), \qquad v = (v_1, v_2, \dots, v_n),$$ $$u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n.$$

Trong không gian Euclid quen thuộc, cùng một giá trị đó còn có ý nghĩa hình học:

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta,$$

trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Điều đó có nghĩa là tích vô hướng không chỉ là một công thức để tính. Nó còn cho biết hai vectơ cùng hướng mạnh đến mức nào.

Tích vô hướng cho bạn biết điều gì

Tích vô hướng còn được gọi là scalar product vì kết quả là một đại lượng vô hướng, không phải một vectơ khác.

Trong không gian Euclid, dấu của kết quả cho bạn biết nhanh về góc. Tích vô hướng dương nghĩa là góc nhọn, tích vô hướng bằng $0$ nghĩa là hai vectơ vuông góc nếu cả hai đều khác không, còn tích vô hướng âm nghĩa là góc tù.

Một trường hợp đặc biệt quan trọng là lấy một vectơ nhân vô hướng với chính nó:

$$u \cdot u = u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2.$$

Trong không gian Euclid, giá trị này bằng $|u|^2$, nên không thể âm. Vì vậy, $u \cdot u$ thường được dùng để tìm độ dài mà không cần lấy căn bậc hai.

Cách tính tích vô hướng

Dùng công thức tọa độ theo ba bước:

1. Viết các vectơ theo cùng thứ tự và kiểm tra xem chúng có cùng số chiều hay không.
2. Nhân các thành phần tương ứng.
3. Cộng các kết quả lại.

Không có gì bị sắp xếp lại. Thành phần thứ nhất ghép với thành phần thứ nhất, thành phần thứ hai ghép với thành phần thứ hai, và cứ thế tiếp tục.

Ví dụ tính tích vô hướng

Tìm tích vô hướng của

$$u = (2, -1, 3), \qquad v = (4, 5, 1).$$

Nhân các thành phần tương ứng:

$$2 \cdot 4 = 8, \qquad (-1) \cdot 5 = -5, \qquad 3 \cdot 1 = 3.$$

Bây giờ cộng lại:

$$u \cdot v = 8 + (-5) + 3 = 6.$$

Vậy tích vô hướng là $6$.

Giá trị $6$ cho bạn biết điều gì? Trong không gian Euclid, kết quả dương cho biết góc giữa hai vectơ là góc nhọn. Điều đó không có nghĩa là hai vectơ bằng nhau hay song song. Nó chỉ cho biết mức độ cùng hướng của chúng là dương.

Ý nghĩa hình học của tích vô hướng

Trong hình học Euclid, tích vô hướng đo mức độ một vectơ hướng theo phương của vectơ kia. Nếu hai vectơ gần như cùng hướng, tích vô hướng sẽ lớn và dương. Nếu chúng vuông góc, tích vô hướng bằng $0$. Nếu chúng chủ yếu hướng ngược nhau, tích vô hướng sẽ âm.

Điều này xuất phát từ công thức

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta$$

vì hạng tử cosine quyết định dấu và độ lớn:

• $\cos\theta > 0$ với góc nhọn, nên tích vô hướng dương.
• $\cos\theta = 0$ với góc vuông, nên tích vô hướng bằng $0$.
• $\cos\theta < 0$ với góc tù, nên tích vô hướng âm.

Cách hiểu theo góc này phụ thuộc vào tích vô hướng Euclid chuẩn. Nếu bạn đang làm việc với một inner product khác, hình học có thể thay đổi, nên cách hình dung góc quen thuộc không tự động còn đúng.

Những lỗi thường gặp khi tính tích vô hướng

Quên kiểm tra số chiều trước

Tích vô hướng chuẩn không được định nghĩa cho một vectơ $2$ chiều và một vectơ $3$ chiều. Hai vectơ phải có cùng số thành phần.

Nhầm tích vô hướng với phép nhân theo từng thành phần

Với $(2,3)$ và $(4,5)$, tích vô hướng là

$$2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 23,$$

không phải $(8,15)$.

Cho rằng kết quả dương chứng minh hai vectơ song song

Tích vô hướng dương chỉ cho biết góc là góc nhọn trong không gian Euclid. Có rất nhiều cặp vectơ khác nhau có tích vô hướng dương.

Quên điều kiện đằng sau câu “$u \cdot v = 0$ nghĩa là vuông góc”

Mệnh đề đó đúng trong thiết lập Euclid chuẩn. Đây là thiết lập mà hầu hết các bài toán nhập môn sử dụng, nhưng điều kiện này vẫn rất quan trọng.

Tích vô hướng được dùng ở đâu

Tích vô hướng xuất hiện bất cứ khi nào hướng là yếu tố quan trọng nhưng đáp án cuối cùng chỉ nên là một số.

Trong hình học, nó giúp kiểm tra tính trực giao và tính góc. Trong vật lý, nó xuất hiện trong các công thức như công, nơi chỉ thành phần của lực theo hướng chuyển động mới được tính. Trong đại số tuyến tính và toán ứng dụng, nó cũng xuất hiện trong phép chiếu, các ý tưởng bình phương tối thiểu và các phép tính độ tương tự.

Thử một bài tích vô hướng tương tự

Hãy thử với

$$u = (1, 2, -2), \qquad v = (3, -1, 4).$$

Tính $u \cdot v$, rồi tính $u \cdot u$. Giá trị thứ hai là một cách hay để thấy vì sao một vectơ nhân vô hướng với chính nó lại có tính chất khác với tích vô hướng của hai vectơ khác nhau.