Perkalian Silang Vektor — Rumus, Arah & Penerapan

Perkalian silang mengambil dua vektor di 3D dan menghasilkan sebuah vektor baru yang tegak lurus terhadap keduanya. Besarnya adalah

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

dengan $\theta$ sebagai sudut antara $a$ dan $b$, dan dalam sistem koordinat tangan kanan arahnya mengikuti kaidah tangan kanan.

Ini memberi gambaran utama dengan cepat. Vektor yang sejajar memiliki $\sin\theta = 0$, sehingga hasil perkalian silangnya adalah vektor nol. Vektor yang saling tegak lurus memiliki $\sin\theta = 1$, sehingga perkalian silang memiliki magnitudo terbesar yang mungkin untuk panjang vektor tersebut.

Rumus Perkalian Silang dalam Koordinat

Jika

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

maka

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

Hasilnya adalah sebuah vektor, bukan skalar. Itu adalah salah satu perbedaan utama dibandingkan hasil kali titik.

Arah Perkalian Silang dan Kaidah Tangan Kanan

Perkalian silang mengarah tegak lurus terhadap bidang yang memuat $a$ dan $b$. Dalam sistem koordinat tangan kanan, lengkungkan jari-jari tangan kanan Anda dari $a$ menuju $b$ melalui sudut yang lebih kecil. Ibu jari Anda menunjuk ke arah $a \times b$.

Urutan itu penting:

$$a \times b = -(b \times a)$$

Jadi, menukar urutan vektor akan membalik arahnya.

Contoh Dikerjakan: Cari $a \times b$

Ambil

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

Dengan menggunakan rumus komponen,

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

sehingga

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

Contoh ini berguna karena semuanya terlihat sekaligus:

• Hasilnya mengarah ke arah $z$ positif, jadi vektor ini tegak lurus terhadap kedua vektor masukan.
• Magnitudonya adalah $6$.
• Magnitudo yang sama juga merupakan luas jajargenjang yang dibentuk oleh $a$ dan $b$.

Anda juga bisa memeriksa rumus magnitudonya. Di sini $|a| = 2$, $|b| = 3$, dan sudutnya adalah $90^\circ$, sehingga

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

Jika urutannya dibalik, maka

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

Besarnya tetap sama, tetapi arahnya berbalik.

Makna Magnitudo Perkalian Silang

Besaran $|a \times b|$ menyatakan luas jajargenjang yang direntang oleh $a$ dan $b$. Jika Anda ingin luas segitiga yang dibentuk oleh vektor yang sama, bagi dengan $2$.

Makna geometris ini menjelaskan mengapa perkalian silang menjadi nol untuk vektor-vektor sejajar: jajargenjang tanpa lebar memiliki luas nol.

Kesalahan Umum dalam Perkalian Silang

Tertukar dengan Hasil Kali Titik

Hasil kali titik menghasilkan skalar dan menggunakan $\cos\theta$. Perkalian silang menghasilkan vektor dan menggunakan $\sin\theta$ untuk magnitudonya.

Lupa Bahwa Urutan Penting

$a \times b$ dan $b \times a$ tidak mengarah ke arah yang sama. Keduanya merupakan negatif satu sama lain.

Menggunakannya di Luar Konteks 3D yang Umum

Dalam kebanyakan konteks sekolah dan kuliah teknik dasar, perkalian silang didefinisikan untuk dua vektor 3D. Jika Anda bekerja di 2D, orang sering beralih ke interpretasi luas skalar atau terlebih dahulu menanamkan vektornya ke dalam 3D.

Di Mana Perkalian Silang Digunakan

Dalam geometri, perkalian silang membantu mencari luas dan vektor normal. Dalam kalkulus vektor dan grafika, ini digunakan untuk membangun arah yang tegak lurus terhadap suatu permukaan atau bidang.

Dalam fisika, perkalian silang muncul ketika besar dan arah rotasi sama-sama penting. Contoh standarnya adalah torsi:

$$\tau = r \times F$$

Rumus itu menyatakan bahwa efek putar bergantung pada vektor posisi, gaya, dan sudut di antara keduanya.

Coba Soal Serupa

Coba

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

Hitung $a \times b$, lalu periksa magnitudonya terhadap $|a||b|\sin\theta$. Setelah itu, balik urutannya dan pastikan bahwa jawaban baru mengarah ke arah yang berlawanan.