Producto vectorial — fórmula, dirección y aplicaciones

El producto vectorial toma dos vectores en 3D y devuelve un nuevo vector perpendicular a ambos. Su magnitud es

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

donde $\theta$ es el ángulo entre $a$ y $b$, y en un sistema de coordenadas dextrógiro su dirección sigue la regla de la mano derecha.

Esto da la idea principal de forma rápida. Los vectores paralelos tienen $\sin\theta = 0$, así que su producto vectorial es el vector cero. Los vectores perpendiculares tienen $\sin\theta = 1$, así que el producto vectorial tiene la mayor magnitud posible para esas longitudes de vector.

Fórmula del producto vectorial en coordenadas

Si

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

entonces

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

El resultado es un vector, no un escalar. Esa es una de las principales diferencias con el producto escalar.

Dirección del producto vectorial y la regla de la mano derecha

El producto vectorial apunta perpendicularmente al plano que contiene a $a$ y $b$. En un sistema de coordenadas dextrógiro, curva los dedos de tu mano derecha desde $a$ hacia $b$ siguiendo el ángulo menor. Tu pulgar apunta en la dirección de $a \times b$.

El orden importa:

$$a \times b = -(b \times a)$$

Así que intercambiar los vectores invierte la dirección.

Ejemplo resuelto: hallar $a \times b$

Toma

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

Usando la fórmula por componentes,

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

así que

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

Este ejemplo es útil porque todo se ve de una vez:

• El resultado apunta en la dirección positiva de $z$, así que es perpendicular a ambos vectores de entrada.
• Su magnitud es $6$.
• Esa misma magnitud es el área del paralelogramo formado por $a$ y $b$.

También puedes comprobar la fórmula de la magnitud. Aquí $|a| = 2$, $|b| = 3$, y el ángulo es $90^\circ$, así que

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

Si inviertes el orden, entonces

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

La magnitud se mantiene igual, pero la dirección cambia de signo.

Qué significa la magnitud del producto vectorial

La cantidad $|a \times b|$ da el área del paralelogramo generado por $a$ y $b$. Si quieres el área del triángulo formado por esos mismos vectores, divide entre $2$.

Ese significado geométrico explica por qué el producto vectorial se vuelve cero para vectores paralelos: un paralelogramo sin anchura tiene área cero.

Errores comunes con el producto vectorial

Confundirlo con el producto escalar

El producto escalar da un escalar y usa $\cos\theta$. El producto vectorial da un vector y usa $\sin\theta$ para su magnitud.

Olvidar que el orden importa

$a \times b$ y $b \times a$ no apuntan en la misma dirección. Son opuestos entre sí.

Usarlo fuera del contexto habitual de 3D

En la mayoría de los contextos escolares y de primeros cursos de ingeniería, el producto vectorial se define para dos vectores 3D. Si trabajas en 2D, a menudo se pasa a interpretaciones de área escalar o primero se incrustan los vectores en 3D.

Dónde se usa el producto vectorial

En geometría, el producto vectorial ayuda a hallar áreas y vectores normales. En cálculo vectorial y gráficos, se usa para construir una dirección perpendicular a una superficie o a un plano.

En física, aparece cuando importan tanto la magnitud como la dirección de giro. Un ejemplo estándar es el torque:

$$\tau = r \times F$$

Esa fórmula dice que el efecto de giro depende del vector de posición, la fuerza y el ángulo entre ellos.

Prueba un problema similar

Prueba con

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

Calcula $a \times b$ y luego comprueba su magnitud con $|a||b|\sin\theta$. Después, invierte el orden y confirma que la nueva respuesta apunta en la dirección opuesta.