Prodotto vettoriale — Formula, direzione e applicazioni

Il prodotto vettoriale prende due vettori in 3D e restituisce un nuovo vettore perpendicolare a entrambi. Il suo modulo è

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

dove $\theta$ è l'angolo tra $a$ e $b$, e in un sistema di coordinate destrorso la sua direzione segue la regola della mano destra.

Questo riassume rapidamente l'idea principale. I vettori paralleli hanno $\sin\theta = 0$, quindi il loro prodotto vettoriale è il vettore nullo. I vettori perpendicolari hanno $\sin\theta = 1$, quindi il prodotto vettoriale ha il massimo modulo possibile per quelle lunghezze.

Formula del prodotto vettoriale in coordinate

Se

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

allora

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

Il risultato è un vettore, non uno scalare. Questa è una delle principali differenze rispetto al prodotto scalare.

Direzione del prodotto vettoriale e regola della mano destra

Il prodotto vettoriale punta in direzione perpendicolare al piano che contiene $a$ e $b$. In un sistema di coordinate destrorso, piega le dita della mano destra da $a$ verso $b$ passando per l'angolo minore. Il pollice indica la direzione di $a \times b$.

L'ordine conta:

$$a \times b = -(b \times a)$$

Quindi, scambiare i vettori inverte la direzione.

Esempio svolto: trova $a \times b$

Prendi

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

Usando la formula delle componenti,

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

quindi

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

Questo esempio è utile perché tutto è visibile subito:

• Il risultato punta nella direzione positiva di $z$, quindi è perpendicolare a entrambi i vettori di partenza.
• Il suo modulo è $6$.
• Questo stesso modulo è l'area del parallelogramma formato da $a$ e $b$.

Puoi anche verificare la formula del modulo. Qui $|a| = 2$, $|b| = 3$, e l'angolo è $90^\circ$, quindi

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

Se inverti l'ordine, allora

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

Il modulo resta lo stesso, ma la direzione si inverte.

Cosa significa il modulo del prodotto vettoriale

La quantità $|a \times b|$ dà l'area del parallelogramma generato da $a$ e $b$. Se vuoi l'area del triangolo formato dagli stessi vettori, dividi per $2$.

Questo significato geometrico spiega perché il prodotto vettoriale diventa zero per vettori paralleli: un parallelogramma senza larghezza ha area zero.

Errori comuni con il prodotto vettoriale

Confonderlo con il prodotto scalare

Il prodotto scalare restituisce uno scalare e usa $\cos\theta$. Il prodotto vettoriale restituisce un vettore e usa $\sin\theta$ per il suo modulo.

Dimenticare che l'ordine conta

$a \times b$ e $b \times a$ non puntano nella stessa direzione. Sono l'uno l'opposto dell'altro.

Usarlo fuori dal consueto contesto 3D

Nella maggior parte dei contesti scolastici e nei primi corsi di ingegneria, il prodotto vettoriale è definito per due vettori 3D. Se lavori in 2D, spesso si passa a interpretazioni come area scalare oppure si incorporano prima i vettori in 3D.

Dove si usa il prodotto vettoriale

In geometria, il prodotto vettoriale aiuta a trovare aree e vettori normali. Nel calcolo vettoriale e nella grafica, si usa per costruire una direzione perpendicolare a una superficie o a un piano.

In fisica, compare quando contano sia il modulo sia la direzione di rotazione. Un esempio standard è il momento torcente:

$$\tau = r \times F$$

Questa formula dice che l'effetto di rotazione dipende dal vettore posizione, dalla forza e dall'angolo tra essi.

Prova un esercizio simile

Prova con

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

Calcola $a \times b$, poi confrontane il modulo con $|a||b|\sin\theta$. Dopo, inverti l'ordine e verifica che la nuova risposta punti nella direzione opposta.