向量叉积——公式、方向与应用

向量叉积把两个三维向量作为输入，返回一个同时垂直于它们的新向量。它的大小是

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

其中 $\theta$ 是 $a$ 与 $b$ 之间的夹角；在右手坐标系中，它的方向由右手定则决定。

这就快速概括了核心思想。平行向量满足 $\sin\theta = 0$，所以它们的叉积是零向量。垂直向量满足 $\sin\theta = 1$，所以在这两个向量长度固定时，叉积的模达到最大。

坐标形式下的叉积公式

如果

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

那么

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

结果是一个向量，而不是标量。这是它与点积的一个主要区别。

叉积的方向与右手定则

叉积的方向垂直于包含 $a$ 和 $b$ 的平面。在右手坐标系中，把右手四指从 $a$ 沿较小夹角弯向 $b$。这时拇指所指的方向就是 $a \times b$ 的方向。

顺序很重要：

$$a \times b = -(b \times a)$$

所以交换两个向量后，方向会反过来。

例题：求 $a \times b$

取

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

使用分量公式，

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

所以

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

这个例子很有用，因为所有信息都一目了然：

• 结果指向正 $z$ 方向，所以它同时垂直于两个输入向量。
• 它的模是 $6$。
• 这个大小同时也是由 $a$ 和 $b$ 构成的平行四边形的面积。

你也可以检验模长公式。这里 $|a| = 2$，$|b| = 3$，夹角是 $90^\circ$，所以

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

如果把顺序反过来，那么

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

大小不变，但方向相反。

叉积的模表示什么

量 $|a \times b|$ 表示由 $a$ 和 $b$ 张成的平行四边形的面积。如果你想求由这两个向量构成的三角形面积，只需要再除以 $2$。

这个几何意义也解释了为什么平行向量的叉积会等于零：没有宽度的平行四边形，面积就是零。

叉积中的常见错误

和点积混淆

点积得到的是标量，并且使用 $\cos\theta$。叉积得到的是向量，它的模使用 $\sin\theta$。

忘记顺序会影响结果

$a \times b$ 和 $b \times a$ 的方向并不相同。它们互为相反向量。

在通常的三维情境之外使用它

在大多数学校数学和工程入门课程中，叉积是为两个三维向量定义的。如果你处理的是二维情形，人们通常会改用标量面积的解释，或者先把向量嵌入到三维空间中。

叉积用在哪里

在几何中，叉积可以用来求面积和法向量。在向量微积分和图形学中，它常用于构造一个垂直于曲面或平面的方向。

在物理中，当大小和旋转方向都很重要时，叉积就会出现。一个标准例子是力矩：

$$\tau = r \times F$$

这个公式说明，转动效应取决于位置向量、力，以及它们之间的夹角。

试一道类似的问题

试试

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

先计算 $a \times b$，再用 $|a||b|\sin\theta$ 检查它的模。然后把顺序反过来，验证新答案的方向是否相反。