Iloczyn wektorowy — wzór, kierunek i zastosowania

Iloczyn wektorowy bierze dwa wektory w 3D i zwraca nowy wektor prostopadły do obu. Jego wartość wynosi

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

gdzie $\theta$ jest kątem między $a$ i $b$, a w prawoskrętnym układzie współrzędnych jego kierunek wyznacza reguła prawej dłoni.

To szybko pokazuje główną ideę. Dla wektorów równoległych mamy $\sin\theta = 0$, więc ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym. Dla wektorów prostopadłych mamy $\sin\theta = 1$, więc iloczyn wektorowy ma największą możliwą wartość dla tych długości wektorów.

Wzór na iloczyn wektorowy we współrzędnych

Jeśli

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

to

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

Wynik jest wektorem, a nie skalarem. To jedna z głównych różnic względem iloczynu skalarnego.

Kierunek iloczynu wektorowego i reguła prawej dłoni

Iloczyn wektorowy jest skierowany prostopadle do płaszczyzny zawierającej $a$ i $b$. W prawoskrętnym układzie współrzędnych zegnij palce prawej dłoni od $a$ w stronę $b$ przez mniejszy kąt. Kciuk wskazuje kierunek $a \times b$.

Kolejność ma znaczenie:

$$a \times b = -(b \times a)$$

Zamiana wektorów miejscami odwraca więc kierunek.

Przykład: oblicz $a \times b$

Weźmy

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

Korzystając ze wzoru na składowe,

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

więc

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

Ten przykład jest przydatny, bo wszystko widać od razu:

• Wynik jest skierowany w dodatnim kierunku osi $z$, więc jest prostopadły do obu wektorów wejściowych.
• Jego wartość wynosi $6$.
• Ta sama wartość jest polem równoległoboku wyznaczonego przez $a$ i $b$.

Możesz też sprawdzić wzór na wartość. Tutaj $|a| = 2$, $|b| = 3$, a kąt wynosi $90^\circ$, więc

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

Jeśli odwrócisz kolejność, to

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

Wartość pozostaje taka sama, ale kierunek się odwraca.

Co oznacza wartość iloczynu wektorowego

Wielkość $|a \times b|$ daje pole równoległoboku rozpiętego na $a$ i $b$. Jeśli chcesz obliczyć pole trójkąta utworzonego przez te same wektory, podziel przez $2$.

To znaczenie geometryczne wyjaśnia, dlaczego iloczyn wektorowy jest zerowy dla wektorów równoległych: równoległobok bez szerokości ma pole równe zero.

Typowe błędy przy iloczynie wektorowym

Mylenie go z iloczynem skalarnym

Iloczyn skalarny daje skalar i używa $\cos\theta$. Iloczyn wektorowy daje wektor i używa $\sin\theta$ do wyznaczenia jego wartości.

Zapominanie, że kolejność ma znaczenie

$a \times b$ i $b \times a$ nie mają tego samego kierunku. Są swoimi przeciwieństwami.

Używanie go poza typowym kontekstem 3D

W większości szkolnych i podstawowych kursów inżynierskich iloczyn wektorowy jest zdefiniowany dla dwóch wektorów 3D. Jeśli pracujesz w 2D, często przechodzi się do interpretacji pola jako skalaru albo najpierw osadza wektory w 3D.

Gdzie stosuje się iloczyn wektorowy

W geometrii iloczyn wektorowy pomaga wyznaczać pola i wektory normalne. W analizie wektorowej i grafice używa się go do budowania kierunku prostopadłego do powierzchni lub płaszczyzny.

W fizyce pojawia się wtedy, gdy znaczenie mają zarówno wartość, jak i kierunek obrotu. Standardowym przykładem jest moment siły:

$$\tau = r \times F$$

Ten wzór mówi, że efekt obrotowy zależy od wektora położenia, siły i kąta między nimi.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj dla

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

Oblicz $a \times b$, a potem porównaj jego wartość z $|a||b|\sin\theta$. Następnie odwróć kolejność i sprawdź, czy nowa odpowiedź ma przeciwny kierunek.