Kreuzprodukt — Formel, Richtung & Anwendungen

Das Kreuzprodukt nimmt zwei Vektoren im 3D-Raum und liefert einen neuen Vektor, der auf beiden senkrecht steht. Sein Betrag ist

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

wobei $\theta$ der Winkel zwischen $a$ und $b$ ist, und in einem rechtshändigen Koordinatensystem folgt seine Richtung der Rechte-Hand-Regel.

Damit ist die Grundidee schnell erfasst. Für parallele Vektoren gilt $\sin\theta = 0$, also ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor. Für senkrechte Vektoren gilt $\sin\theta = 1$, daher hat das Kreuzprodukt für diese Vektorlängen den größtmöglichen Betrag.

Formel des Kreuzprodukts in Koordinaten

Wenn

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

dann gilt

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

Das Ergebnis ist ein Vektor, kein Skalar. Das ist einer der wichtigsten Unterschiede zum Skalarprodukt.

Richtung des Kreuzprodukts und die Rechte-Hand-Regel

Das Kreuzprodukt zeigt senkrecht auf die Ebene, die von $a$ und $b$ aufgespannt wird. In einem rechtshändigen Koordinatensystem krümmst du die Finger deiner rechten Hand von $a$ in Richtung $b$ über den kleineren Winkel. Dein Daumen zeigt dann in die Richtung von $a \times b$.

Die Reihenfolge ist wichtig:

$$a \times b = -(b \times a)$$

Wenn du also die Vektoren vertauschst, kehrt sich die Richtung um.

Durchgerechnetes Beispiel: Bestimme $a \times b$

Nimm

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

Mit der Komponentenformel ergibt sich

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

also

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

Dieses Beispiel ist nützlich, weil man alles auf einmal sehen kann:

• Das Ergebnis zeigt in die positive $z$-Richtung und steht damit senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren.
• Sein Betrag ist $6$.
• Genau dieser Betrag ist die Fläche des Parallelogramms, das von $a$ und $b$ gebildet wird.

Du kannst auch die Betragsformel überprüfen. Hier ist $|a| = 2$, $|b| = 3$, und der Winkel ist $90^\circ$, also

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

Wenn du die Reihenfolge umkehrst, dann gilt

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

Der Betrag bleibt gleich, aber die Richtung kehrt sich um.

Was der Betrag des Kreuzprodukts bedeutet

Die Größe $|a \times b|$ gibt die Fläche des Parallelogramms an, das von $a$ und $b$ aufgespannt wird. Wenn du die Fläche des Dreiecks mit denselben Vektoren willst, teilst du durch $2$.

Diese geometrische Bedeutung erklärt, warum das Kreuzprodukt bei parallelen Vektoren null wird: Ein Parallelogramm ohne Breite hat die Fläche null.

Häufige Fehler beim Kreuzprodukt

Verwechslung mit dem Skalarprodukt

Das Skalarprodukt liefert einen Skalar und verwendet $\cos\theta$. Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor und verwendet für seinen Betrag $\sin\theta$.

Vergessen, dass die Reihenfolge wichtig ist

$a \times b$ und $b \times a$ zeigen nicht in dieselbe Richtung. Sie sind die Negativen voneinander.

Verwendung außerhalb des üblichen 3D-Kontexts

In den meisten schulischen und einführenden ingenieurwissenschaftlichen Kontexten ist das Kreuzprodukt für zwei 3D-Vektoren definiert. Wenn du in 2D arbeitest, wechselt man oft zu Skalarflächen-Interpretationen oder bettet die Vektoren zuerst in den 3D-Raum ein.

Wo das Kreuzprodukt verwendet wird

In der Geometrie hilft das Kreuzprodukt beim Bestimmen von Flächen und Normalenvektoren. In der Vektoranalysis und Computergrafik wird es verwendet, um eine senkrechte Richtung zu einer Oberfläche oder Ebene zu konstruieren.

In der Physik taucht es auf, wenn sowohl der Betrag als auch die Drehrichtung wichtig sind. Ein Standardbeispiel ist das Drehmoment:

$$\tau = r \times F$$

Diese Formel sagt aus, dass die Drehwirkung vom Ortsvektor, der Kraft und dem Winkel zwischen ihnen abhängt.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

Berechne $a \times b$ und vergleiche dann seinen Betrag mit $|a||b|\sin\theta$. Kehre danach die Reihenfolge um und überprüfe, dass die neue Antwort in die entgegengesetzte Richtung zeigt.