Produit vectoriel — formule, direction et applications

Le produit vectoriel prend deux vecteurs en 3D et renvoie un nouveau vecteur perpendiculaire aux deux. Sa norme vaut

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

où $\theta$ est l’angle entre $a$ et $b$, et dans un repère direct, sa direction suit la règle de la main droite.

Cela donne rapidement l’idée principale. Des vecteurs parallèles ont $\sin\theta = 0$, donc leur produit vectoriel est le vecteur nul. Des vecteurs perpendiculaires ont $\sin\theta = 1$, donc le produit vectoriel a la plus grande norme possible pour ces longueurs de vecteurs.

Formule du produit vectoriel en coordonnées

Si

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

alors

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

Le résultat est un vecteur, pas un scalaire. C’est l’une des principales différences avec le produit scalaire.

Direction du produit vectoriel et règle de la main droite

Le produit vectoriel est perpendiculaire au plan contenant $a$ et $b$. Dans un repère direct, repliez les doigts de votre main droite de $a$ vers $b$ en passant par le plus petit angle. Votre pouce indique la direction de $a \times b$.

L’ordre compte :

$$a \times b = -(b \times a)$$

Donc, permuter les vecteurs inverse la direction.

Exemple détaillé : trouver $a \times b$

Prenons

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

En utilisant la formule par composantes,

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

donc

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

Cet exemple est utile parce que tout est visible d’un seul coup :

• Le résultat pointe dans la direction positive de $z$, donc il est perpendiculaire aux deux vecteurs d’entrée.
• Sa norme est $6$.
• Cette même norme est l’aire du parallélogramme formé par $a$ et $b$.

Vous pouvez aussi vérifier la formule de la norme. Ici $|a| = 2$, $|b| = 3$, et l’angle vaut $90^\circ$, donc

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

Si vous inversez l’ordre, alors

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

La norme reste la même, mais la direction s’inverse.

Ce que signifie la norme du produit vectoriel

La quantité $|a \times b|$ donne l’aire du parallélogramme engendré par $a$ et $b$. Si vous voulez l’aire du triangle formé par les mêmes vecteurs, divisez par $2$.

Cette interprétation géométrique explique pourquoi le produit vectoriel devient nul pour des vecteurs parallèles : un parallélogramme sans largeur a une aire nulle.

Erreurs fréquentes avec le produit vectoriel

Le confondre avec le produit scalaire

Le produit scalaire donne un scalaire et utilise $\cos\theta$. Le produit vectoriel donne un vecteur et utilise $\sin\theta$ pour sa norme.

Oublier que l’ordre compte

$a \times b$ et $b \times a$ ne pointent pas dans la même direction. Ce sont des opposés.

L’utiliser hors du cadre habituel en 3D

Dans la plupart des contextes scolaires et des premiers cours d’ingénierie, le produit vectoriel est défini pour deux vecteurs de 3D. Si vous travaillez en 2D, on passe souvent à des interprétations en aire scalaire ou on plonge d’abord les vecteurs dans l’espace 3D.

Où le produit vectoriel est utilisé

En géométrie, le produit vectoriel aide à trouver des aires et des vecteurs normaux. En calcul vectoriel et en infographie, il sert à construire une direction perpendiculaire à une surface ou à un plan.

En physique, il apparaît lorsque la norme et le sens de rotation comptent tous deux. Un exemple classique est le moment de force :

$$\tau = r \times F$$

Cette formule dit que l’effet de rotation dépend du vecteur position, de la force et de l’angle entre eux.

Essayez un problème similaire

Essayez

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

Calculez $a \times b$, puis comparez sa norme à $|a||b|\sin\theta$. Ensuite, inversez l’ordre et vérifiez que la nouvelle réponse pointe dans la direction opposée.