Vectơ — Độ lớn, Hướng, Phép cộng & Tích vô hướng

Một vectơ mô tả đồng thời độ lớn và hướng. Trong hệ tọa độ, một vectơ như $v = (3, 4)$ hoặc $v = (2, -1, 5)$ cho biết nó dịch chuyển bao xa theo từng trục. Từ các thành phần đó, bạn có thể tìm độ lớn, cộng vectơ và tính tích vô hướng.

Nếu chỉ nhớ một ý, hãy nhớ điều này: vectơ không chỉ là độ dài. Hướng là một phần của đại lượng, nên phép toán cũng phải giữ được hướng.

Vectơ có ý nghĩa gì trong tọa độ

Một đại lượng vô hướng chỉ có độ lớn. Nhiệt độ, khối lượng và thời gian là những ví dụ quen thuộc về đại lượng vô hướng. Một vectơ có cả độ lớn lẫn hướng. Độ dời, vận tốc và lực là những ví dụ tiêu chuẩn.

Trong toán và vật lý cơ bản, vectơ thường được viết dưới dạng danh sách có thứ tự của các thành phần. Trong $2$ chiều,

$$v = (v_1, v_2)$$

và trong $3$ chiều,

$$v = (v_1, v_2, v_3).$$

Số lượng thành phần là điều quan trọng. Bạn chỉ có thể cộng trực tiếp các vectơ, hoặc lấy tích vô hướng chuẩn, khi các vectơ cùng sống trong một số chiều.

Cách tìm độ lớn của vectơ

Độ lớn của một vectơ chính là độ dài của nó. Trong không gian Euclid thông thường, độ lớn của $v = (v_1, v_2)$ là

$$|v| = \sqrt\{v_1^2 + v_2^2\}$$

và với $v = (v_1, v_2, v_3)$ thì là

$$|v| = \sqrt\{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2\}.$$

Đây là phiên bản vectơ của ý tưởng định lý Pythagoras. Độ lớn cho biết vectơ dài bao nhiêu, còn dấu và độ lớn tương đối của các thành phần giúp xác định hướng của nó.

Một lưu ý hữu ích: vectơ không có độ lớn bằng $0$, nhưng nó không chỉ theo một hướng duy nhất.

Phép cộng vectơ hoạt động như thế nào

Để cộng các vectơ, hãy cộng các thành phần tương ứng:

$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2).$$

Kết quả là một vectơ khác. Điều đó quan trọng vì tổng vẫn có cả độ lớn lẫn hướng.

Đó là lý do bạn thường không thể chỉ cộng các độ lớn. Nếu hai vectơ chỉ theo các hướng khác nhau, tác động tổng hợp của chúng phụ thuộc vào cả hai hướng, chứ không chỉ vào độ lớn của các con số.

Tích vô hướng cho bạn biết điều gì

Tích vô hướng lấy hai vectơ cùng số chiều và trả về một đại lượng vô hướng:

$$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n.$$

Nó cho biết hai vectơ thẳng hàng với nhau đến mức nào. Trong không gian Euclid thông thường, nó cũng thỏa mãn

$$a \cdot b = |a||b|\cos(\theta),$$

trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ.

Công thức đó cho ta một cách diễn giải nhanh:

• Nếu $a \cdot b > 0$, góc là góc nhọn.
• Nếu $a \cdot b = 0$, các vectơ khác không vuông góc với nhau.
• Nếu $a \cdot b < 0$, góc là góc tù.

Cách diễn giải theo góc này phụ thuộc vào tích vô hướng Euclid thông thường. Đây là phiên bản chuẩn được dùng trong các khóa học nhập môn toán và vật lý.

Ví dụ có lời giải: độ lớn, phép cộng và tích vô hướng cùng lúc

Cho

$$a = (3, 4), \qquad b = (4, -3).$$

Bắt đầu với độ lớn. Với $a$,

$$|a| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5.$$

Với $b$,

$$|b| = \sqrt\{4^2 + (-3)^2\} = \sqrt\{25\} = 5.$$

Vậy cả hai vectơ có cùng độ lớn, dù chúng chỉ theo những hướng khác nhau.

Bây giờ cộng chúng lại:

$$a + b = (3 + 4,\ 4 + (-3)) = (7, 1).$$

Tổng là một vectơ mới, không phải số $10$. Độ lớn của nó là

$$|a + b| = \sqrt\{7^2 + 1^2\} = \sqrt\{50\}.$$

Bây giờ tính tích vô hướng:

$$a \cdot b = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0.$$

Vì tích vô hướng bằng $0$, các vectơ khác không này vuông góc với nhau trong mặt phẳng Euclid thông thường. Chỉ với một ví dụ này, ta thấy rõ mô hình chính:

• độ lớn đo kích thước
• phép cộng tạo ra một vectơ mới
• tích vô hướng đo mức độ cùng hướng

Những lỗi thường gặp với vectơ

Cộng độ lớn thay vì cộng vectơ

Cộng $|a| + |b|$ không giống với tìm $|a + b|$. Đây là hai đại lượng khác nhau, trừ khi các vectơ cùng hướng.

Bỏ qua điều kiện cùng số chiều

Bạn không thể cộng trực tiếp một vectơ $2$D với một vectơ $3$D, và cũng không thể lấy tích vô hướng chuẩn giữa chúng.

Nhầm tích vô hướng với phép nhân với một số

Tích vô hướng cho ra một đại lượng vô hướng. Nó không tạo ra một vectơ khác.

Dùng quy tắc về góc mà không đúng bối cảnh

Các công thức về độ lớn và cách diễn giải hình học của tích vô hướng ở trên giả sử bối cảnh Euclid thông thường. Đây là bối cảnh chuẩn trong hầu hết các khóa học nhập môn, nhưng nó vẫn là một điều kiện cần.

Vectơ được dùng ở đâu

Vectơ xuất hiện ở mọi nơi mà hướng là quan trọng. Trong hình học, chúng giúp mô tả điểm, đường thẳng, phép chiếu và góc. Trong vật lý, chúng được dùng cho độ dời, vận tốc, gia tốc và lực. Trong kỹ thuật và đồ họa, chúng giúp biểu diễn chuyển động, định hướng và sự thay đổi trong không gian.

Bạn không cần đại số tuyến tính nâng cao để bắt đầu dùng vectơ hiệu quả. Với nhiều bài toán, toàn bộ việc cần làm chỉ là: viết đúng các thành phần, áp dụng đúng phép toán và diễn giải kết quả.

Hãy thử một bài toán vectơ tương tự

Hãy đổi ví dụ thành $a = (2, 1)$ và $b = (1, 2)$. Tìm độ lớn của mỗi vectơ, cộng chúng lại và tính tích vô hướng. Sau đó quyết định xem góc giữa chúng là nhọn, vuông hay tù.

Nếu muốn kiểm tra nhanh, trước tiên hãy tự giải cặp này bằng tay rồi so sánh với công cụ giải. Cách đó giúp bạn phát hiện lỗi dấu và nhầm lẫn giữa các thành phần dễ hơn nhiều.