벡터곱(외적) — 공식, 방향, 활용

벡터곱(외적)은 3차원에서 두 벡터를 받아 둘 다에 수직인 새로운 벡터를 반환합니다. 그 크기는

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

이며, 여기서 $\theta$는 $a$와 $b$ 사이의 각입니다. 또한 오른손 좌표계에서는 그 방향이 오른손 법칙을 따릅니다.

이 식만으로도 핵심 아이디어를 빠르게 파악할 수 있습니다. 평행한 벡터는 $\sin\theta = 0$이므로 벡터곱이 영벡터가 됩니다. 서로 수직인 벡터는 $\sin\theta = 1$이므로, 주어진 벡터 길이에서 벡터곱의 크기가 가장 커집니다.

좌표에서의 벡터곱 공식

만약

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

라면

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

입니다.

결과는 스칼라가 아니라 벡터입니다. 이것이 내적과의 가장 중요한 차이점 중 하나입니다.

벡터곱의 방향과 오른손 법칙

벡터곱은 $a$와 $b$가 이루는 평면에 수직인 방향을 가리킵니다. 오른손 좌표계에서는 오른손 손가락을 $a$에서 $b$ 쪽으로 더 작은 각을 따라 구부리면 됩니다. 그러면 엄지가 $a \times b$의 방향을 가리킵니다.

순서는 중요합니다:

$$a \times b = -(b \times a)$$

즉, 두 벡터의 순서를 바꾸면 방향이 반대로 바뀝니다.

예제: $a \times b$ 구하기

다음을 보겠습니다.

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

성분 공식을 사용하면,

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

따라서

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

입니다.

이 예제는 모든 것이 한눈에 보여서 유용합니다:

• 결과는 양의 $z$ 방향을 가리키므로, 두 입력 벡터 모두에 수직입니다.
• 그 크기는 $6$입니다.
• 같은 크기 $6$은 $a$와 $b$가 만드는 평행사변형의 넓이이기도 합니다.

크기 공식으로도 확인할 수 있습니다. 여기서 $|a| = 2$, $|b| = 3$, 그리고 각은 $90^\circ$이므로

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

입니다.

순서를 반대로 하면

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

가 됩니다.

크기는 같지만 방향은 반대로 바뀝니다.

벡터곱의 크기가 의미하는 것

$|a \times b|$는 $a$와 $b$가 만드는 평행사변형의 넓이를 나타냅니다. 같은 두 벡터가 만드는 삼각형의 넓이를 구하고 싶다면 $2$로 나누면 됩니다.

이 기하학적 의미를 보면, 왜 평행한 벡터에서 벡터곱이 $0$이 되는지도 이해할 수 있습니다. 너비가 없는 평행사변형의 넓이는 $0$이기 때문입니다.

벡터곱에서 자주 하는 실수

내적과 혼동하기

내적은 스칼라를 반환하고 $\cos\theta$를 사용합니다. 벡터곱은 벡터를 반환하고, 그 크기에 $\sin\theta$를 사용합니다.

순서가 중요하다는 점을 잊기

$a \times b$와 $b \times a$는 같은 방향을 가리키지 않습니다. 서로 부호가 반대입니다.

보통의 3차원 범위를 벗어나 사용하기

대부분의 학교 수학이나 공학 입문 과정에서는 벡터곱을 3차원 벡터 두 개에 대해 정의합니다. 2차원에서 작업할 때는 스칼라 넓이 해석으로 바꾸거나, 먼저 벡터를 3차원에 포함시켜 생각하는 경우가 많습니다.

벡터곱은 어디에 쓰일까?

기하에서는 벡터곱을 이용해 넓이와 법선벡터를 구할 수 있습니다. 벡터해석과 그래픽스에서는 표면이나 평면에 수직인 방향을 만드는 데 사용됩니다.

물리에서는 크기뿐 아니라 회전 방향도 중요할 때 벡터곱이 등장합니다. 대표적인 예가 토크입니다:

$$\tau = r \times F$$

이 식은 회전시키는 효과가 위치벡터, 힘, 그리고 그 사이의 각에 따라 달라진다는 뜻입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 해보세요.

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

$a \times b$를 계산한 뒤, 그 크기가 $|a||b|\sin\theta$와 일치하는지 확인해 보세요. 그다음 순서를 바꾸어 새 답이 반대 방향을 가리키는지도 확인해 보세요.