外積 — 公式・向き・応用

外積は、3次元の2つのベクトルから、その両方に垂直な新しいベクトルを返します。その大きさは

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

で与えられます。ここで $\theta$ は $a$ と $b$ のなす角で、右手系の座標系では向きは右手の法則に従います。

これで基本的な考え方をすばやくつかめます。平行なベクトルでは $\sin\theta = 0$ なので、外積は零ベクトルになります。垂直なベクトルでは $\sin\theta = 1$ なので、その長さの組に対して外積の大きさは最大になります。

座標での外積の公式

もし

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

ならば

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

となります。

結果はスカラーではなくベクトルです。これは内積との大きな違いの1つです。

外積の向きと右手の法則

外積は、$a$ と $b$ を含む平面に垂直な向きを向きます。右手系の座標系では、右手の指を $a$ から $b$ へ小さいほうの角を通って曲げます。そのとき親指が指す向きが $a \times b$ の向きです。

順序は重要です。

$$a \times b = -(b \times a)$$

したがって、ベクトルの順番を入れ替えると向きは逆になります。

計算例：$a \times b$ を求める

次を考えます。

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

成分の公式を使うと、

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

したがって

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

となります。

この例は、すべてが一目でわかるので便利です。

• 結果は正の $z$ 方向を向いているので、2つの入力ベクトルの両方に垂直です。
• その大きさは $6$ です。
• 同じ大きさは、$a$ と $b$ がつくる平行四辺形の面積でもあります。

大きさの公式でも確かめられます。ここでは $|a| = 2$, $|b| = 3$ で、なす角は $90^\circ$ なので、

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

となります。

順序を逆にすると、

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

です。

大きさは同じままですが、向きは反転します。

外積の大きさが意味するもの

$|a \times b|$ は、$a$ と $b$ が張る平行四辺形の面積を表します。同じ2つのベクトルでできる三角形の面積がほしいなら、$2$ で割ります。

この幾何学的な意味から、平行なベクトルで外積が零になる理由もわかります。幅のない平行四辺形の面積は $0$ だからです。

外積でよくある間違い

内積と混同する

内積はスカラーを返し、$\cos\theta$ を使います。外積はベクトルを返し、その大きさには $\sin\theta$ を使います。

順序が重要であることを忘れる

$a \times b$ と $b \times a$ は同じ向きを向きません。互いに逆ベクトルです。

ふつうの3次元の設定以外で使う

学校数学や工学の初学者向けの文脈では、外積はたいてい3次元の2つのベクトルに対して定義されます。2次元で扱う場合は、スカラーの面積として解釈したり、先にベクトルを3次元に埋め込んだりすることがよくあります。

外積はどこで使われるか

幾何学では、外積は面積や法線ベクトルを求めるのに役立ちます。ベクトル解析やグラフィックスでは、曲面や平面に垂直な方向を作るために使われます。

物理では、大きさと回転の向きの両方が重要なときに現れます。代表的な例はトルクです。

$$\tau = r \times F$$

この式は、回転させる効果が位置ベクトル、力、そしてそれらのなす角に依存することを表しています。

類題に挑戦してみよう

次を試してみましょう。

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

$a \times b$ を計算し、その大きさが $|a||b|\sin\theta$ と一致するか確かめてください。そのあと順序を逆にして、新しい答えが反対向きになることも確認してみましょう。