ครอสโปรดักต์ — สูตร ทิศทาง และการประยุกต์ใช้

ครอสโปรดักต์นำเวกเตอร์สองตัวใน 3 มิติมาสร้างเป็นเวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับทั้งคู่ โดยมีขนาดเป็น

$$|a \times b| = |a||b|\sin\theta$$

โดยที่ $\theta$ คือมุมระหว่าง $a$ และ $b$ และในระบบพิกัดแบบมือขวา ทิศทางของมันจะเป็นไปตามกฎมือขวา

แนวคิดหลักสรุปได้อย่างรวดเร็วจากตรงนี้ ถ้าเวกเตอร์ขนานกัน จะมี $\sin\theta = 0$ ดังนั้นครอสโปรดักต์จะเป็นเวกเตอร์ศูนย์ ส่วนเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกันจะมี $\sin\theta = 1$ ทำให้ครอสโปรดักต์มีขนาดมากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้สำหรับความยาวเวกเตอร์คู่นั้น

สูตรครอสโปรดักต์ในพิกัด

ถ้า

$$a = (a_1, a_2, a_3), \qquad b = (b_1, b_2, b_3)$$

แล้ว

$$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

ผลลัพธ์ที่ได้เป็นเวกเตอร์ ไม่ใช่สเกลาร์ นี่คือหนึ่งในความแตกต่างสำคัญจากดอตโปรดักต์

ทิศทางของครอสโปรดักต์และกฎมือขวา

ครอสโปรดักต์จะชี้ตั้งฉากกับระนาบที่มี $a$ และ $b$ อยู่ภายใน ในระบบพิกัดแบบมือขวา ให้โค้งนิ้วมือขวาจาก $a$ ไปทาง $b$ ผ่านมุมที่เล็กกว่า นิ้วหัวแม่มือจะชี้ไปในทิศทางของ $a \times b$

ลำดับมีผล:

$$a \times b = -(b \times a)$$

ดังนั้นถ้าสลับเวกเตอร์ ทิศทางก็จะกลับด้าน

ตัวอย่างทำโจทย์: หา $a \times b$

กำหนดให้

$$a = (2, 0, 0), \qquad b = (0, 3, 0)$$

ใช้สูตรองค์ประกอบ จะได้

$$a \times b = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0)$$

ดังนั้น

$$a \times b = (0, 0, 6)$$

ตัวอย่างนี้มีประโยชน์เพราะมองเห็นทุกอย่างได้ชัดในครั้งเดียว:

• ผลลัพธ์ชี้ไปในทิศทาง $z$ บวก จึงตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งต้นทั้งสอง
• ขนาดของมันคือ $6$
• ขนาดเดียวกันนี้ยังเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจาก $a$ และ $b$

คุณยังสามารถตรวจสอบสูตรขนาดได้ด้วย ในที่นี้ $|a| = 2$, $|b| = 3$ และมุมเป็น $90^\circ$ ดังนั้น

$$|a \times b| = 2 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = 6$$

ถ้ากลับลำดับ จะได้

$$b \times a = (0, 0, -6)$$

ขนาดยังเท่าเดิม แต่ทิศทางกลับด้าน

ขนาดของครอสโปรดักต์หมายถึงอะไร

ปริมาณ $|a \times b|$ ให้ค่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กางโดย $a$ และ $b$ ถ้าต้องการพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากเวกเตอร์คู่เดียวกัน ให้หารด้วย $2$

ความหมายเชิงเรขาคณิตนี้อธิบายได้ว่าทำไมครอสโปรดักต์จึงเป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ขนานกัน เพราะสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่มีความกว้างย่อมมีพื้นที่เป็นศูนย์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับครอสโปรดักต์

สับสนกับดอตโปรดักต์

ดอตโปรดักต์ให้ผลเป็นสเกลาร์และใช้ $\cos\theta$ ส่วนครอสโปรดักต์ให้ผลเป็นเวกเตอร์ และใช้ $\sin\theta$ ในการหาขนาด

ลืมว่าลำดับมีผล

$a \times b$ และ $b \times a$ ไม่ได้ชี้ไปในทิศทางเดียวกัน ทั้งสองเป็นค่าตรงข้ามกัน

ใช้นอกบริบท 3 มิติแบบทั่วไป

ในบริบทของโรงเรียนและวิชาวิศวกรรมเบื้องต้นส่วนใหญ่ ครอสโปรดักต์นิยามสำหรับเวกเตอร์ 3 มิติสองตัว ถ้าคุณทำงานใน 2 มิติ มักจะเปลี่ยนไปใช้การตีความแบบพื้นที่เชิงสเกลาร์ หรือฝังเวกเตอร์เข้าไปใน 3 มิติก่อน

ครอสโปรดักต์ใช้ที่ไหน

ในเรขาคณิต ครอสโปรดักต์ช่วยหาพื้นที่และเวกเตอร์ปกติ ในแคลคูลัสเวกเตอร์และกราฟิกส์ มันใช้สร้างทิศทางที่ตั้งฉากกับผิวหรือระนาบ

ในฟิสิกส์ ครอสโปรดักต์ปรากฏเมื่อทั้งขนาดและทิศทางการหมุนมีความสำคัญ ตัวอย่างมาตรฐานคือแรงบิด:

$$\tau = r \times F$$

สูตรนี้บอกว่าผลของการหมุนขึ้นอยู่กับเวกเตอร์ตำแหน่ง แรง และมุมระหว่างทั้งสอง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองใช้

$$a = (1, 1, 0), \qquad b = (2, -1, 0)$$

คำนวณ $a \times b$ แล้วตรวจสอบขนาดของมันกับ $|a||b|\sin\theta$ หลังจากนั้นให้สลับลำดับและยืนยันว่าคำตอบใหม่ชี้ไปในทิศทางตรงข้าม