Tiếp tuyến của đường tròn — Tính chất & Định lý

Tiếp tuyến của đường tròn là một đường thẳng chỉ chạm vào đường tròn tại đúng một điểm. Định lý quan trọng nhất là bán kính nối đến tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến, nên các bài toán về tiếp tuyến thường nhanh chóng trở thành bài toán tam giác vuông hoặc góc.

Nếu một đường thẳng chỉ trông giống như chạm vào đường tròn, đừng dùng các định lý về tiếp tuyến cho đến khi điều đó được xác định rõ. Phần lớn sai lầm xảy ra khi một cát tuyến hoặc một đường thẳng thông thường bị xem như tiếp tuyến.

Tiếp tuyến của đường tròn: Tính chất chính

Nếu đường thẳng $l$ là tiếp tuyến của một đường tròn tại điểm $T$, thì

$$OT \perp l$$

trong đó $O$ là tâm của đường tròn.

Điều này thường được gọi là định lý bán kính vuông góc với tiếp tuyến. Điều kiện này rất quan trọng: bán kính phải kết thúc tại điểm mà tiếp tuyến chạm vào đường tròn.

Tiếp tuyến và cát tuyến

Tiếp tuyến cắt đường tròn tại một điểm. Cát tuyến đi qua đường tròn và cắt nó tại hai điểm.

Sự khác biệt này nhìn trên hình có thể rất nhỏ nhưng lại rất quan trọng trong chứng minh. Các định lý về tiếp tuyến không tự động áp dụng cho cát tuyến hoặc dây cung.

Hai tiếp tuyến xuất phát từ cùng một điểm ngoài có độ dài bằng nhau

Nếu từ cùng một điểm ngoài $P$ kẻ hai tiếp tuyến đến một đường tròn, và chúng tiếp xúc với đường tròn tại $A$ và $B$, thì độ dài của chúng bằng nhau:

$$PA = PB$$

Điều này hữu ích khi biết độ dài của một tiếp tuyến còn độ dài kia chưa biết. Điều kiện rất quan trọng: cả hai tiếp tuyến phải xuất phát từ cùng một điểm ngoài.

Ví dụ có lời giải: Tìm độ dài của một tiếp tuyến

Giả sử một đường tròn có tâm $O$. Từ một điểm ngoài $P$, một tiếp tuyến chạm vào đường tròn tại $T$. Cho

$$OT = 5$$

và

$$OP = 13.$$

Hãy tìm độ dài tiếp tuyến $PT$.

Vì $OT$ là bán kính nối đến tiếp điểm nên nó vuông góc với tiếp tuyến. Do đó tam giác $OPT$ là tam giác vuông với góc vuông tại $T$.

Dùng định lý Pythagore:

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

Thay các giá trị vào:

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

Vậy đoạn tiếp tuyến có độ dài bằng $12$.

Đây là dạng bài tiêu chuẩn về độ dài tiếp tuyến: xác định tiếp điểm, đánh dấu góc vuông, rồi giải tam giác vuông.

Những lỗi thường gặp trong bài toán về tiếp tuyến

Vuông góc không phải lúc nào cũng có nghĩa là tiếp tuyến

Một đường thẳng vuông góc với bán kính chỉ là tiếp tuyến khi nó đi qua đầu mút của bán kính nằm trên đường tròn. Vuông góc ở chỗ khác là chưa đủ.

Cát tuyến không phải là tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm thì đó là cát tuyến, không phải tiếp tuyến. Dùng quy tắc của tiếp tuyến trong trường hợp đó sẽ cho kết quả sai.

Hai tiếp tuyến bằng nhau phải xuất phát từ cùng một điểm ngoài

Quy tắc $PA = PB$ chỉ áp dụng khi cả hai đoạn tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ngoài đến cùng một đường tròn.

Góc vuông nằm ở một vị trí xác định

Góc vuông nằm giữa tiếp tuyến và bán kính nối đến tiếp điểm. Nó không tự động nằm giữa tiếp tuyến và mọi đoạn thẳng nối từ tâm hoặc từ điểm ngoài.

Khi nào tiếp tuyến của đường tròn được sử dụng

Tiếp tuyến của đường tròn xuất hiện trong hình học ở trường học, hình học tọa độ và các bài chứng minh hình vẽ về góc và độ dài. Chúng cũng dẫn đến các ý tưởng liên quan như góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, dựng hình đường tròn và các bài toán về lực của điểm.

Kiểm tra nhanh trước khi giải

Khi bạn thấy một tiếp tuyến, hãy tự hỏi:

1. Tiếp điểm ở đâu?
2. Bán kính nào đi đến điểm đó?
3. Điều đó có tạo ra một tam giác vuông hoặc một tình huống hai tiếp tuyến bằng nhau không?

Ba bước kiểm tra này giúp phát hiện hầu hết lỗi thiết lập trước khi bạn bắt đầu tính toán.

Thử một bài tương tự

Hãy tự thử một phiên bản khác với cùng cách thiết lập nhưng số liệu khác, chẳng hạn $OT = 7$ và $OP = 25$. Giải để tìm $PT$, rồi kiểm tra xem đáp án của bạn có hợp lý về mặt hình học hay không. Nếu bạn muốn làm ngay một trường hợp khác, hãy khám phá một bài toán hình học đường tròn tương tự trong GPAI Solver.