Hình quạt tròn & độ dài cung — Công thức và ví dụ

Hình quạt tròn là phần hình nằm giữa hai bán kính và cung nối chúng. Độ dài cung là độ dài của cạnh cong đó, còn diện tích hình quạt tròn là diện tích của phần hình quạt.

Nếu một đường tròn có bán kính $r$ và góc ở tâm $\theta$, trước hết hãy kiểm tra đơn vị của góc. Nếu $\theta$ được đo bằng radian, dùng

$$s = r\theta$$

và

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

Nếu $\theta$ được đo bằng độ, dùng

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

và

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

Điều kiện này rất quan trọng. Các công thức theo radian chỉ đúng khi góc được đo bằng radian.

Vì sao các công thức này đúng

Cả hai công thức đều xuất phát từ việc lấy một phần của cả đường tròn.

Một đường tròn đầy đủ có chu vi $2\pi r$ và diện tích $\pi r^2$. Hình quạt tròn chỉ chiếm một phần được xác định bởi góc ở tâm. Ví dụ, $90^\circ$ là một phần tư vòng tròn, nên hình quạt tương ứng có một phần tư chu vi đường tròn và một phần tư diện tích của nó.

Trong radian, ý tưởng này còn gọn hơn vì một đường tròn đầy đủ là $2\pi$ radian. Nếu góc là $\pi/3$, thì hình quạt chiếm $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ của cả đường tròn.

Vì thế, cả hai đại lượng đều tăng theo cách dễ dự đoán: bán kính lớn hơn thì cả hai đều lớn hơn, và góc ở tâm lớn hơn thì cả hai cũng lớn hơn.

Ví dụ giải sẵn: bán kính $12$ cm, góc $60^\circ$

Giả sử một hình quạt tròn có bán kính $12$ cm và góc ở tâm $60^\circ$.

Vì góc được cho theo độ, ta dùng các công thức theo độ.

Với độ dài cung,

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Vậy độ dài cung là $4\pi$ cm.

Với diện tích hình quạt tròn,

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Vậy diện tích hình quạt tròn là $24\pi\ \text{cm}^2$.

Có một cách kiểm tra hữu ích ở đây. Với cùng một hình quạt tròn,

$$A = \frac{1}{2}rs$$

Thay $r = 12$ và $s = 4\pi$,

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

Kết quả khớp nhau, nên cách thiết lập là nhất quán.

Những lỗi thường gặp với diện tích hình quạt tròn và độ dài cung

1. Dùng $s = r\theta$ khi $\theta$ vẫn đang ở đơn vị độ.
2. Dùng đường kính trong khi công thức cần bán kính.
3. Nhầm giữa độ dài cung và độ dài dây cung. Độ dài cung đi theo đường cong; dây cung là một đoạn thẳng.
4. Quên rằng diện tích hình quạt tròn phải được viết bằng đơn vị vuông.
5. Làm tròn quá sớm khi bài toán yêu cầu đáp án chính xác theo $\pi$.

Khi nào dùng diện tích hình quạt tròn và độ dài cung

Các công thức này xuất hiện trong hình học và lượng giác mỗi khi bạn làm việc với một phần của đường tròn thay vì cả đường tròn. Những ví dụ quen thuộc gồm bánh xe, bánh răng, đường chạy hình tròn, các lát của biểu đồ tròn và bản vẽ kỹ thuật.

Chúng cũng quan trọng hơn về sau trong vật lý và giải tích vì radian giúp các công thức về chuyển động quay trở nên đơn giản và nhất quán hơn.

Cách nhanh để chọn đúng công thức

Trước tiên hãy tự hỏi hai câu:

1. Mình cần độ dài theo đường cong hay diện tích bên trong?
2. Góc đang ở đơn vị độ hay radian?

Nếu trả lời đúng hai câu này, công thức phù hợp thường sẽ hiện ra ngay.

Thử một bài tương tự

Hãy tự làm một phiên bản với bán kính $9$ m và góc ở tâm $120^\circ$. Tính độ dài cung trước, rồi tính diện tích hình quạt tròn, và kiểm tra xem $A = \frac{1}{2}rs$ có cho cùng một diện tích hay không. Đây là bước tiếp theo rất tốt nếu bạn muốn kiểm tra xem mình đã hiểu đúng công thức và đơn vị hay chưa.