Aritmetik Ortalama, Medyan, Mod — Merkezi Eğilim Ölçüleri

Aritmetik ortalama, medyan ve mod; bir veri kümesinin merkezini tanımlamanın üç yoludur. Aritmetik ortalama ortalamadır, medyan sıralamadan sonraki orta değerdir ve mod en sık görülen değerdir. Hızlı kuralı isterseniz: veri oldukça dengeliyse aritmetik ortalamayı, aykırı değerler sonucu bozabilecekse medyanı, en yaygın değer önemliyse modu kullanın.

Bu ölçüler farklı sonuçlar verebilir çünkü "merkez" kavramını farklı şekillerde tanımlarlar. Tam da bu yüzden kullanışlıdırlar.

Aritmetik ortalama, medyan ve moda kısa bakış

Aritmetik ortalama, kümedeki her değeri kullanır:

$$\text{mean} = \frac{\text{sum of all values}}{\text{number of values}}$$

Her değer katkı yaptığı için, alışılmadık derecede büyük ya da küçük bir sayı aritmetik ortalamayı tipik görünen değerden uzaklaştırabilir.

Medyan, veriler sıralandığında ortada kalan değerdir. Değer sayısı tekse bir tane orta değer vardır. Değer sayısı çiftse medyan, ortadaki iki değerin ortalamasıdır.

Mod, en sık görülen değerdir. Bir veri kümesinin tek modu olabilir, birden fazla modu olabilir ya da hiçbir değer diğerlerinden daha sık görünmüyorsa modu olmayabilir.

Aykırı değer içeren çözülmüş örnek

$2, 3, 3, 4, 20$ veri kümesini kullanın.

Aritmetik ortalama

$$\frac{2 + 3 + 3 + 4 + 20}{5} = \frac{32}{5} = 6.4$$

olur.

Medyan $3$'tür çünkü sıralı listede ortadaki değer $3$'tür.

Mod da $3$'tür çünkü diğer tüm değerlerden daha sık görünür.

Bu örnek önemlidir çünkü veride bir aykırı değer vardır: $20$. Bu tek değer aritmetik ortalamayı $6.4$'e çekerken medyan $3$ olarak kalır. Amacınız bu küme için tipik bir değeri tanımlamaksa, medyan genellikle daha iyi bir özettir.

Aritmetik ortalama, medyan ve modda yaygın hatalar

Medyanı bulmadan önce sıralamamak

Medyan sıralamaya bağlıdır. Liste önce sıralanmazsa seçtiğiniz orta sayı güvenilir olmaz.

"Ortalama"yı her zaman aritmetik ortalama sanmak

Günlük dilde insanlar "ortalama" sözcüğünü çoğu zaman genel anlamda kullanır. İstatistikte ise daha kesin olmalısınız. Bazen daha yararlı özeti medyan ya da mod verir.

Her veri kümesinin bir modu olduğunu varsaymak

$1, 2, 3, 4$ kümesinin modu yoktur çünkü hiçbir değer tekrar etmez. Bir kümenin iki ya da daha fazla modu da olabilir; bu, birkaç değerin en yüksek sıklıkta eşitlenmesi durumunda olur.

Aykırı değerleri göz ardı etmek

Bir değer diğerlerinden çok daha büyük ya da çok daha küçükse, aritmetik ortalama ciddi biçimde değişebilir. Bu, aritmetik ortalamayı yanlış yapmaz ama sayının anlattığı hikâyeyi değiştirir.

Her merkezi eğilim ölçüsü ne zaman kullanılır?

Veri oldukça dengeliyse ve her değerin sonucu etkilemesi gerekiyorsa aritmetik ortalamayı kullanın. Tutarlı bir kısa sınavdaki puanlar buna basit bir örnektir.

Uç değerler merkezi bozabilecekse medyanı kullanın. Gelir, kira ve konut fiyatı verileri yaygın örneklerdir çünkü birkaç çok büyük değer aritmetik ortalamayı yukarı çekebilir.

Aritmetik merkezden çok en yaygın değer önemliyse modu kullanın. Bir mağazada satılan tişört bedenleri ya da ankette en sık verilen yanıt bu duruma uyar.

Öğrenciler bu fikri neden öğrenir?

Merkezi eğilim ölçüleri, veriyi anlamlandırmanın çoğu zaman ilk adımıdır. Grupları karşılaştırmadan, yayılımı incelemeden ya da verinin çarpık olup olmadığına karar vermeden önce bir değer listesini özetlemenize yardımcı olurlar.

Veri sayısalsa ve oldukça kararlıysa, aritmetik ortalama çoğu zaman bilgilendiricidir. Veri çarpıksa medyan genellikle daha güvenlidir. Soru en sık ne olduğuyla ilgiliyse, buna doğrudan cevap veren tek ölçü mod olabilir.

Benzer bir soru deneyin

$5, 6, 6, 7, 30$ listesini alın ve üç ölçünün hepsini bulun. Sonra $30$ yerine $8$ yazın ve nelerin değiştiğini karşılaştırın. Bu tek değişiklik, aykırı değerlerin rolünü çok daha kolay görmenizi sağlar.