Varyans — Formül, Hesaplama ve Örnekler

Varyans, sayıların ortalama etrafında ne kadar yayıldığını ölçer. Küçük varyans, değerlerin ortalamaya oldukça yakın kaldığı anlamına gelir. Büyük varyans ise değerlerin daha geniş bir alana yayıldığını gösterir.

Varyansı hesaplamak için her değerin ortalamadan ne kadar uzak olduğunu bulun, bu uzaklıkların karesini alın ve ortalamasını hesaplayın. Kare alma işlemi önemlidir çünkü aksi halde pozitif ve negatif sapmalar birbirini götürür.

Varyans Formülü: Anakütle ve Örneklem

Verileriniz, tanımlamak istediğiniz grubun tüm değerlerini içeriyorsa anakütle varyansı formülünü kullanın:

$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2$$

Verileriniz yalnızca bir örneklemse ve daha büyük bir anakütlenin yayılımını tahmin etmek istiyorsanız örneklem varyansı formülünü kullanın:

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Tek fark paydadır. Tam bir anakütle için $N$ kullanılır. Örneklem tahmini için $n-1$ kullanılır.

Varyans Ne Anlama Gelir?

Varyans size merkezin nerede olduğunu söylemez. Verilerin bu merkezden ortalama olarak ne kadar uzakta durma eğiliminde olduğunu söyler.

İki veri kümesinin ortalaması aynıysa, varyansı daha büyük olan kümedeki değerler ortalamadan ortalama olarak daha uzaktadır. Sapmaların karesi alındığı için alışılmadık derecede büyük farkların etkisi daha fazladır.

Önemli bir ayrıntı şudur: varyans kare birimlerle ölçülür. Veri metre cinsindeyse, varyans metrekare cinsindedir. Bu yüzden standart sapma günlük kullanımda çoğu zaman daha kolay yorumlanır.

Varyans Nasıl Hesaplanır: Çözümlü Örnek

$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ veri kümesini kullanın.

Önce ortalamayı bulun:

$$\bar{x} = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

Şimdi her değerden ortalamayı çıkarın ve sonucu kareye alın:

• $(2-5)^2 = 9$
• $(4-5)^2 = 1$
• $(4-5)^2 = 1$
• $(4-5)^2 = 1$
• $(5-5)^2 = 0$
• $(5-5)^2 = 0$
• $(7-5)^2 = 4$
• $(9-5)^2 = 16$

Bu karelenmiş sapmaları toplayın:

$$9+1+1+1+0+0+4+16 = 32$$

Bu sekiz değer tam anakütleyi oluşturuyorsa, anakütle varyansı şöyledir:

$$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$$

Aynı sekiz değer daha büyük bir anakütleden alınmış bir örneklem olarak ele alınırsa, örneklem varyansı şöyledir:

$$s^2 = \frac{32}{7} \approx 4.57$$

Bu örnek ana fikri açıkça gösterir: karelenmiş sapmalar aynıdır, ancak son sonuç $N$'ye mi yoksa $n-1$'e mi böldüğünüze göre değişir.

Varyansla İlgili Yaygın Hatalar

• Sapmaların karesini almayı unutmak. Ham sapmaların ortalamasını alırsanız, pozitif ve negatif değerler birbirini götürür ve yayılımı artık doğru ölçemezsiniz.
• Anakütle varyansı ile örneklem varyansını karıştırmak. Tam bir anakütle için $N$'ye, daha büyük bir anakütleyi tahmin eden örneklem için $n-1$'e bölün.
• Varyansın kare birimler kullandığını unutmak. Varyans kullanışlıdır, ancak standart sapma çoğu zaman daha kolay okunur çünkü tekrar özgün birimlere döner.
• Büyük varyansın her zaman kötü olduğunu varsaymak. Daha büyük varyans yalnızca daha fazla yayılım anlamına gelir. Bunun önemli olup olmadığı bağlama bağlıdır.

Varyans Ne Zaman Kullanılır?

Varyans, yayılımı tutarlı bir şekilde tanımlamanız veya karşılaştırmanız gerektiğinde kullanılır.

• İstatistikte, bir veri kümesinin ne kadar dağılmış olduğunu özetlemeye yardımcı olur.
• Kalite kontrolde, bir sürecin zaman içinde tutarlı kalıp kalmadığını izlemeye yardımcı olabilir.
• Finansta, getirilerin ne kadar dalgalandığını tanımlamak için kullanılır, ancak riski düşünmenin yalnızca bir yoludur.
• Makine öğrenmesi ve veri analizinde, özelliklerin veya hataların gözlemler arasında nasıl değiştiğini açıklamaya yardımcı olur.

Benzer Bir Soru Deneyin

Aynı ortalamaya sahip ama yayılımı farklı olan iki küçük veri kümesiyle kendi örneğinizi deneyin. Her ikisinin de varyansını hesaplayın ve daha geniş yayılan veri kümesinin daha büyük değeri verip vermediğine bakın. Bu tek karşılaştırma genellikle fikrin akılda kalmasını sağlar.